1.
設\( x,y,z \in N \)且\( xy+yz+zx=xyz \)，則數對\( (x,y,z) \)之解有
組。
(1)求\( \displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{8} \)所有的正整數解；
(2)求\( \displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1 \)所以的正整數解。
(96南港高工日間部)
類似題
求\( \displaystyle \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1 \)的正整數解。
4.
設\( 4x^3+3x^2+2x+1=0 \)三根為\( \alpha,\beta,\gamma \)，則\( \displaystyle \frac{1}{\alpha^5}+\frac{1}{\beta^5}+\frac{1}{\gamma^5} \)？
[提示]
令\( 4+3y+2y^2+y^3=0 \)三根為\( \displaystyle \frac{1}{\alpha},\frac{1}{\beta},\frac{1}{\gamma} \)
再用
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1019&page=1#pid2501方法下去算
設\( x^3+2x^2+3x+4=0 \)三根為\( \alpha,\beta,\gamma \)，則\( \alpha^5+\beta^5+\gamma^5 \)？
(99苗栗高中，
https://math.pro/db/thread-1019-1-1.html)
令a,b,c為三次方程式\( x^3+5x+11=0 \)的根，求\( a^3+b^3+c^3 \)
(A)−33 (B)33 (C)22 (D)−22
(98金門縣國中聯招)
9.
已知正△ABC內一點P到三頂點A、B、C之距離分別5、12、13，則△ABC之邊長為？
設△ABC為正三角形，點P為其內部一點，若\( \overline{PA}=5 \)、\( \overline{PB}=12 \)、\( \overline{PC}=13 \)，則△ABC之面積為？
(97中和高中)
若△ABC為一正三角形，且在此三角形內部中有一點P使得\( \overline{AP}=3 \)，\( \overline{BP}=4 \)，\( \overline{CP}=5 \)，試問此正三角形之邊長為何？
(2008TRML團體賽)
9.
空間中10個相異平面，最多能將空間分割成個
區域？
這只是五分的填充題，請不要用遞迴關係解題
我提供一個速解法，包含驗算20秒就可以寫答案
[速解]
\( C_0^{10}+C_1^{10}+C_2^{10}+C_3^{10}=176 \)
100.11.19補充
用遞迴解題
http://cplee8tcfsh.blogspot.com/2011/03/blog-post_14.html
14.
設\( (1+x)^n=C_0^{n}+C_1^n x+C_2^n x^2+C_3^n x^3+...+C_n^n x^n \)，
則\( C_1^n+2^2 C_2^n+3^2 C_3^n+4^2 C_4^n+...+n^2 C_n^n \)？
[公式]
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k C_k^n=n \times 2^{n-1} \)
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2 C_k^n=n(n+1) 2^{n-2} \)
利用歸納法證明：\( \displaystyle \sum_{k=1}^n k C_k^n=n 2^{n-1} \)。
(100家齊女中，
https://math.pro/db/thread-1122-1-3.html)
計算證明題
2.
△ABC中，已知\( a=\overline{BC} \)，\( b=\overline{CA} \)，\( c=\overline{AB} \)，試證明：\( a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\le 3abc \)
Suppose a,b,c are the sides of a triangle. Prove that \( a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\le 3abc \)
(IMO1964)
[解答]
Schur's inequality
\( a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b) \ge 0 \)
\( a(a-b)(a-c)=a(a^2-ac-ba+bc)=-a^2(b+c-a)+abc \)
\( b(b-c)(b-a)=b(b^2-ab-cb+ca)=-b^2(c+a-b)+abc \)
\( c(c-a)(c-b)=c(c^2-cb-ac+ab)=-c^2(a+b-c)+abc \)
三式相加得
\( a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\le 3abc \)
其他解法
http://gbas2010.wordpress.com/2009/12/02/i-m-o-1964/
參考資料
http://en.wikipedia.org/wiki/Schur's_inequality
http://www.artofproblemsolving.c ... 66834&p=2018835
http://www.artofproblemsolving.c ... 65683&p=1441901
http://www.artofproblemsolving.c ... =71110&p=414261
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本帖最後由 bugmens 於 2011-11-19 08:55 PM 編輯 ]
