7. 從坐標平面上的原點每次向上, 或向下, 或向左, 或向右跳ㄧ次(每次跳一個單位長), 經跳9次後,
跳到坐標 (1,2) 有__________種跳法.  答: 10584

參考解法:

最後跳到坐標 (1,2) 就是代表除了 ' 右上上 ' 之外，其餘6次必須上下左右互相抵消
將這6次分類如下:

左左左右右右   右上上
有 9! /2!3!4! =1260 種

上下左左右右   右上上
有 9! /3!2!3! =5040 種

上上下下左右   右上上
有 9! /4!2!2! =3780 種

上上上下下下   右上上
有 9! /5!3! =504 種

所以共有 1260+5040+3780+504=10584 種

4. 數列 \(\displaystyle <a_n> ,  a_1=1,a_2=\frac{1}{3}\),  若  \(\displaystyle a_na_{n+1}+a_{n+1}a_{n+2}=2a_na_{n+2}\) ,  求  \(\displaystyle a_n= ?\)  答:  \(\displaystyle \frac{1}{2n-1} \)

參考解法:

等式兩邊同除以 \(\displaystyle a_na_{n+1}a_{n+2}\)  之後，就可以看出數列  \(\displaystyle <\frac{1}{a_n}> \)  是一個等差數列

\(\displaystyle \frac{a_na_{n+1}+a_{n+1}a_{n+2}}{a_na_{n+1}a_{n+2}}=\frac{2a_na_{n+2}}{a_na_{n+1}a_{n+2}}\)

\(\displaystyle \frac{1}{a_{n+2}}+\frac{1}{a_n}=\frac{2}{a_{n+1}}\)

又因為  \(\displaystyle a_1=1,a_2=\frac{1}{3}\),  所以數列  \(\displaystyle <\frac{1}{a_n}> \)  是一個公差為 2 的等差數列，即1,3,5,7,9...

故  \(\displaystyle <a_n>=1,\frac{1}{3},\frac{1}{5},\frac{1}{7},\frac{1}{9},...\)

[ 本帖最後由 Joy091 於 2011-7-8 05:32 PM 編輯 ]

這一題的解法實在太精采有趣了，容我將它整理一遍 :

題目:

10.  N 為自然數, A,B,C,D 為 N  的最小的四個相異正因數, 且滿足 , \( \displaystyle N=A^2+B^2+C^2+D^2 \)，試求 N =_________.     答: 130

老王的解答 (整理):

首先，可假設 A<B<C<D
則知道 A=1

再來，N一定是偶數 !
因為若 N 是奇數，則 A,B,C,D皆為奇數，
得到 \( \displaystyle N=A^2+B^2+C^2+D^2 \) 為偶數的矛盾。
故 N 是偶數，由此可知 B=2。且C,D不能同時為奇數或同時為偶數，否則 N不是偶數。

接著，很重要的，N 雖然是偶數，卻不是 4 的倍數!
因為 \( \displaystyle N=1^2+2^2+C^2+D^2=5+C^2+D^2 \)  其中
5=4+1 而 C,D中的奇數平方除以4必餘1，C,D中的偶數平方為4的倍數
所以 N 除以4 後餘數為 2，因此 N 不是4的倍數。

由此可知C,D中的偶數成員必型如: 2p = 2x3 或 2x5 或 2x7...等 (2x1已經用過，就是B。2x2是 4，不合)
而奇數成員恰好為p

所以 \( \displaystyle N=1^2+2^2+C^2+D^2=5+C^2+D^2=5+p^2+(2p)^2=5+5p^2=5(1+p^2) \)
又再得到 N是5的倍數，於是真象大白，C,D中的奇數成員(也就是p)等於5，故  \( \displaystyle N=5(1+p^2)=5(1+5^2)=130 \)

(此題 N=130 是唯一解，沒有其他的答案了! )

109.6.16補充
109建功高中國中部也考這題，https://math.pro/db/thread-3348-1-1.html