2.
有7個城鎮圍成一七邊形,，已知除了\( D,E \)外，任兩城鎮間皆恰有一條道路往來。某人從\(A\)出發經過每一城鎮一次後回到\(A\)，若相同路徑不得重複走, 則此人有　　　種不同的走法。

[解答]
就是BCDEFG的直線排列，但是DE不能相鄰
6!-2*5!=4*5!=480


3.
在坐標平面上，不等式\( (3x^2-y^2)[log_2 (25-x^2-y^2)-3]\ge 0 \)所表示的區域之面積為　　　。
[解答]
圖中藍色區域
\(\displaystyle 2\times\frac{1}{2}[\frac{2\pi}{3}\times17+\frac{\pi}{3}(25-17)]=14\pi \)

5.
設\( \alpha_1,\alpha_2 \ldots \alpha_1n \)是\(n\)次多項方程式\( x^n+x^{n-1}+\ldots+x+1=0 \)的\(n\)個根，試求：\( \displaystyle \frac{1}{\alpha_1-1}+\frac{1}{\alpha_2-1}+\frac{1}{\alpha_n-1}= \)　　　。
[解答]
令\( f(x)=x^n+x^{n-1}+\cdots+x+1 \)
\(\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{1}{x-\alpha_1}+\frac{1}{x-\alpha_2}+\cdots+\frac{1}{x-\alpha_n} \)
所求為
\(\displaystyle -\frac{f'(1)}{f(1)}=-\frac{\frac{1}{2}n(n+1)}{n+1}=-\frac{n}{2} \)


6.
設\( \alpha,\beta,\gamma,\theta \in R \)，試求：\( \sqrt{(cos \theta-\alpha)^2+(sin \theta-\beta)^2}+\sqrt{(cos \gamma-\alpha+5)^2+(sin \gamma-\beta+15)^2}+\sqrt{\alpha^2+\beta^2-24\alpha+18\beta+225}+\sqrt{\alpha^2+\beta^2-60\alpha-20\beta+1000} \)的最小值為　　　。
[解答]
視為點 \( P(\alpha,\beta) \)到\( A(\cos\theta,\sin\theta) \)、\( B(5+\cos\gamma,15+\sin\gamma) \)
還有C(12,-9)和D(30,10)的距離和
A在單位圓O上，B在圓\( M : (x-5)^2+(y-15)^2=1 \)上，P到圓的最短距離會等於到圓心距離減去半徑，
所以所求可以看成P到O、M、C、D四點距離和的最小值再減2
最小值發生在四邊形OCDM對角線交點
所求為\( 25+10\sqrt{10}-2=23+10\sqrt{10} \)

9.
設橢圓曲線\( \Gamma \)：\( \displaystyle \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1 \)與直線\(L\)：\( x=12 \)，若\( A_0,F \)的坐標分別為\( (6,0),(3,0) \)，在曲線\( \Gamma \)上另有11個點\(A_k\)，\( k=1,2,3,\ldots,11 \)使得\(∠A_0FA_1=∠A_1FA_2=\ldots=∠A_{11}FA_0\)，令\( d_k \)為\( A_k \)到\(L\)的距離，試求\( \displaystyle \sum_{k=0}^{11}\frac{1}{d_k}= \)　　　。
[解答]
參考 圓錐曲線焦弦的性質
http://lyingheart6174.pixnet.net ... 4%E6%80%A7%E8%B3%AA
共有六組，離心率為\( \frac{1}{2} \)，所求為
\(\displaystyle 6\times\frac{4}{\frac{54}{6}}\times\frac{1}{2}=\frac{4}{3} \)

10.
\( N \)為自然數，\( A,B,C,D \)為\(N\)的最小的四個相異正因數，且滿足\( N=A^2+B^2+C^2+D^2 \)，試求\( N= \)　　　。
[解答]
\(A=1\)
若\(N\)為奇數，右邊是偶數，不合，故\(N\)是偶數
\(B=2\)
此時不管\(C、D\)如何，平方和不會是4的倍數，所以\(N\)不是4的倍數
若\(C、D\)皆為奇數，右邊為奇數，不合
故令\(C=p,D=2p\)
\(N=5+5p^2=5(1+p^2)\)
故\(p=5\)
\(N=130\)

因為計算的是1/PF+1/QF，但是此題要的是1/d(P,L)+1/d(Q,L)
也就是P、Q到準線距離的倒數和，而PF=e*d(P,L)，QF=e*d(Q,L)
1/d(P,L)+1/d(Q,L)=e/PF+e/QF
所以還要乘上離心率。
其實只要知道這個性質，那麼就直接用長軸兩頂點來算這定值就很快。

另外，通常作者不想算的東西，會留做習題。
應該就是把方程式寫出來，然後再利用PFQ共線的條件去導出來吧。

不失一般性假設A<B<C<D

若N為奇數，那麼他的因數也都是奇數，平方當然還是奇數，
右邊就為四個奇數之和，為偶數。

N=5(1+p^2)
表示N是5的倍數
若N也是3的倍數
C=3,D=5
從上面的討論知道不合
所以p=5(此時C=5)