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100中壢高中二招

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100中壢高中二招

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教甄已近尾聲
筆試功力仍需精進!
各位請享用!

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2011-6-30 20:22, 下載次數: 5266

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1.
\( f(x)=\sqrt{x^4-3x^2-6x+13}-\sqrt{x^4-x^2+1} \)的最大值為?\( \sqrt{10} \)
(1992大陸高中數學競賽,95基隆高中,高中數學101修訂版 P237)
[解答]
\( f(x)=\sqrt{(x^2-2)^2+(x-3)^2}-\sqrt{(x^2-1)^2+(x-0)^2} \)
令\( P(x^2,x) \)在\( y^2=x \)上,\( A(2,3) \),\( B(1,0) \)
\( f(x)=\overline{AP}-\overline{BP}\le \overline{AB}=\sqrt{10} \)
即\( f(x) \)之最大值為\( \sqrt{10} \)


求函數\( f(x)=\sqrt{x^4-3x^2+4}+\sqrt{x^4-3x^2-8x+20} \)的最小值?4
88高中數學能力競賽,95台中高農,96彰師附工,
97文華高中,http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47781
99萬芳高中,https://math.pro/db/thread-969-1-1.html
99鳳新高中,https://math.pro/db/thread-1492-1-9.html

這麼多學校考過這兩題,答案你背起來了沒?


8.
△ABC中,a,b,c分別為頂點A,B,C的對邊,若\( \displaystyle \frac{cotC}{cotA+cotB}=99 \),求\( \displaystyle \frac{a^2+b^2}{c^2} \)?
(95台中高農)

Let a,b,c be the three sides of a triangle, and let α,β,γ be the angles opposite them. If \( a^2+b^2=1989c^2 \), find \( \displaystyle \frac{cot \gamma}{cot \alpha+cot \beta} \)
(1989AIME)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-6-30 09:14 PM 編輯 ]

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請問第2,3,5,6,9,10題  要怎麼做?

[ 本帖最後由 mandy 於 2011-7-1 08:54 PM 編輯 ]

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回復 3# mandy 的帖子

2.
有7個城鎮圍成一七邊形,,已知除了\( D,E \)外,任兩城鎮間皆恰有一條道路往來。某人從\(A\)出發經過每一城鎮一次後回到\(A\),若相同路徑不得重複走, 則此人有   種不同的走法。

[解答]
就是BCDEFG的直線排列,但是DE不能相鄰
6!-2*5!=4*5!=480


3.
在坐標平面上,不等式\( (3x^2-y^2)[log_2 (25-x^2-y^2)-3]\ge 0 \)所表示的區域之面積為   
[解答]
圖中藍色區域
\(\displaystyle 2\times\frac{1}{2}[\frac{2\pi}{3}\times17+\frac{\pi}{3}(25-17)]=14\pi \)

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100中壢二招3.jpg (18.41 KB)

2011-7-1 22:42

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名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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回復 3# mandy 的帖子

5.
設\( \alpha_1,\alpha_2 \ldots \alpha_1n \)是\(n\)次多項方程式\( x^n+x^{n-1}+\ldots+x+1=0 \)的\(n\)個根,試求:\( \displaystyle \frac{1}{\alpha_1-1}+\frac{1}{\alpha_2-1}+\frac{1}{\alpha_n-1}= \)   
[解答]
令\( f(x)=x^n+x^{n-1}+\cdots+x+1 \)
\(\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{1}{x-\alpha_1}+\frac{1}{x-\alpha_2}+\cdots+\frac{1}{x-\alpha_n} \)
所求為
\(\displaystyle -\frac{f'(1)}{f(1)}=-\frac{\frac{1}{2}n(n+1)}{n+1}=-\frac{n}{2} \)


6.
設\( \alpha,\beta,\gamma,\theta \in R \),試求:\( \sqrt{(cos \theta-\alpha)^2+(sin \theta-\beta)^2}+\sqrt{(cos \gamma-\alpha+5)^2+(sin \gamma-\beta+15)^2}+\sqrt{\alpha^2+\beta^2-24\alpha+18\beta+225}+\sqrt{\alpha^2+\beta^2-60\alpha-20\beta+1000} \)的最小值為   
[解答]
視為點 \( P(\alpha,\beta) \)到\( A(\cos\theta,\sin\theta) \)、\( B(5+\cos\gamma,15+\sin\gamma) \)
還有C(12,-9)和D(30,10)的距離和
A在單位圓O上,B在圓\( M : (x-5)^2+(y-15)^2=1 \)上,P到圓的最短距離會等於到圓心距離減去半徑,
所以所求可以看成P到O、M、C、D四點距離和的最小值再減2
最小值發生在四邊形OCDM對角線交點
所求為\( 25+10\sqrt{10}-2=23+10\sqrt{10} \)
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回復 3# mandy 的帖子

9.
設橢圓曲線\( \Gamma \):\( \displaystyle \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1 \)與直線\(L\):\( x=12 \),若\( A_0,F \)的坐標分別為\( (6,0),(3,0) \),在曲線\( \Gamma \)上另有11個點\(A_k\),\( k=1,2,3,\ldots,11 \)使得\(∠A_0FA_1=∠A_1FA_2=\ldots=∠A_{11}FA_0\),令\( d_k \)為\( A_k \)到\(L\)的距離,試求\( \displaystyle \sum_{k=0}^{11}\frac{1}{d_k}= \)   
[解答]
參考 圓錐曲線焦弦的性質
http://lyingheart6174.pixnet.net ... 4%E6%80%A7%E8%B3%AA
共有六組,離心率為\( \frac{1}{2} \),所求為
\(\displaystyle 6\times\frac{4}{\frac{54}{6}}\times\frac{1}{2}=\frac{4}{3} \)
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回復 3# mandy 的帖子

10.
\( N \)為自然數,\( A,B,C,D \)為\(N\)的最小的四個相異正因數,且滿足\( N=A^2+B^2+C^2+D^2 \),試求\( N= \)   
[解答]
\(A=1\)
若\(N\)為奇數,右邊是偶數,不合,故\(N\)是偶數
\(B=2\)
此時不管\(C、D\)如何,平方和不會是4的倍數,所以\(N\)不是4的倍數
若\(C、D\)皆為奇數,右邊為奇數,不合
故令\(C=p,D=2p\)
\(N=5+5p^2=5(1+p^2)\)
故\(p=5\)
\(N=130\)
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回復 6# 老王 的帖子

請問老王老師

第6題這樣的題目類型,有可能考到三點距離和為最小嗎

關於第9題

網頁中提到性質2可以改為 :1/PF+1/QF=4/K。(K為正焦弦長)

這裡頭不是已經把離心率e用c/a替換了嗎

為什麼最後還需要乘上e=1/2

另外想請問  習題中提到  如何用解析方法證明性質2

感謝老師指導

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感謝以上所有老師 !!

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回復 8# JOE 的帖子

因為計算的是1/PF+1/QF,但是此題要的是1/d(P,L)+1/d(Q,L)
也就是P、Q到準線距離的倒數和,而PF=e*d(P,L),QF=e*d(Q,L)
1/d(P,L)+1/d(Q,L)=e/PF+e/QF
所以還要乘上離心率。
其實只要知道這個性質,那麼就直接用長軸兩頂點來算這定值就很快。

另外,通常作者不想算的東西,會留做習題。
應該就是把方程式寫出來,然後再利用PFQ共線的條件去導出來吧。
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