回復 2# 阿光 的帖子，第四題

令 \( \alpha=\frac{1}{2}\angle DAB \), \( \beta=\frac{\pi}{2}-\alpha \),\( \sin\alpha=\frac{11}{12} \), \( \sin\beta=\frac{\sqrt{23}}{12} \)。
延伸 \( \overline{AB} \) 交圓於 \( E \)，則 \( \overline{BC}=\overline{DE}=2\cdot6\sin\beta=\sqrt{23} \)。


圓內接四邊形 BCDE，有托勒密理：\( 11^{2}=12\overline{CD}+23\Rightarrow\overline{CD}=\frac{49}{6} \)。

填充2，動筆試一試，不難猜出規律
\( 1^2 =1 \), \( 2^2=4 \) 不合, \( 3^2 =9 \) 不合, \( 4^2 = 16 \) 不合, \( 5^2 =25 \) 不合, \( 6^2 =36 = 35 +1 \), \( 7^2 = 49 \) 不合
\( 8^2 =64=63+1 \),  \( 9^2=81=77+4 \) 不合, \(10^2 =100=98+2 \) 不合, \( 11^2 = 121=119+2 \) 不合, \( 12^2 =144=140+4 \) 不合, \( 13^2 =169 = 168 +1 \), \( 14^2 = 196 \) 不合
1~14 中，符合的有 1,6,8,13，看不出規律，可以繼續算













看出來的話，就是 \( 7n+1, 7n+6 \)。
而 \( 1000 = 7 \times 142+6 \)，故有 \( 2\times 143 =286 \) 個 n 滿足題意