100松山家商

第九題：利用對到同樣的弧的圓周角相角，先找出 \( 150^\circ \)的地方，即圖中 ADB 和 AD'B 兩弧。

圖中 E 為 ADB 弧的圓心。利用三角形兩內角和對於另一角之外角，可得兩弧之間的點 P, 都會有 \( \angle APB > 150^{\circ} \).

反之，圓與弧之間的點，所成的角必小於 \( 150^\circ \).

設 \( \overline{AB}=2 \Rightarrow \overline{AE}=2 \)，弓形 ADB 面積 \( =\frac{2^{2}\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot2^{2}=\frac{2}{3}\pi-\sqrt{3} \).

所求機率 \( 2\cdot\frac{\frac{2}{3}\pi-\sqrt{3}}{\pi\cdot1^{2}}=\frac{\pi}{4}-\frac{2\sqrt{3}}{\pi} \).

第十題：取對數就好做。令 \( b_{n}=\log_{2}a_{n}\)，

則 \( b_{n+2}=\frac{4}{3}b_{n+1}-\frac{1}{3}b_{n}\Rightarrow b_{n+2}-b_{n+1}=\frac{1}{3}(b_{n+1}-b_{n}) \).

\( b_{2}-b_{1}=1-0=1 \).
\( \lim\limits _{n\to\infty}b_{n}=b_{1}+\lim\limits _{n\to\infty}\sum\limits _{k=2}^{n}(b_{k}-b_{k-1})=\frac{3}{2}\Rightarrow\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}=2^{\frac{3}{2}}=2\sqrt{2} \).

[ 本帖最後由 tsusy 於 2011-10-23 01:18 PM 編輯 ]