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計算題 第2題
連續擲出一個公正的正六面體骰子\(n\)次，將前\(n\)次出現的點數依序寫在小數點的後面，得到一個實數\(a_n\)，例\(a_1=0.4\)，\(a_2=0.43\)，\(a_3=0.435\)，…，對於實數\(k\)，若符號\(p_n(k)\)代表「\(a_n<k\)的機率」，試求：
(1)\( \displaystyle p_{2011}(\frac{1}{7})\)
(2)\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n(\frac{41}{333}) \)
[解答]
第(1)小題
1 - P(a ≥ 0.2) - P( 0.15 ≤ a < 0.2 ) - P( 0.143 ≤ a < 0.15 ) - P( 0.1429 ≤ a < 0.143 ) - P( 0.14286 ≤ a < 0.1429 ) - .....
= 1 - 5/6 - (1/6)(2/6) - (1/6)(1/6)(4/6) - 0 - 0 - .....
= 20/(6^3)
= 5/54
註解.
P( 0.1429 ≤ a < 0.143 ) = 0 的原因:
因為骰子無9點,所以小數第4位必為9的機率是0
之後的各項皆為0,原因類似.
