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100彰化藝術高中,田中高中

回復 24# maymay 的帖子

單選第 2 題:
將1、2、3、…、9此9個正整數隨機填入3×3之棋盤形9個格子中,每一格填一個數字,且每個數字只填一次,求使每一行,每一列(不含對角線)之數字和皆為奇數之機率為何?
(A)\(\displaystyle \frac{1}{10}\) (B)\(\displaystyle \frac{1}{11}\) (C)\(\displaystyle \frac{1}{12}\) (D)\(\displaystyle \frac{1}{13}\) (E)\(\displaystyle \frac{1}{14}\)
[解答]
偶數有 4 個

任取某一行或某一列

只有可能為~奇數+奇數+奇數

      或是 偶數+偶數+奇數

所以~四個偶數只能在某兩行與某兩列的重疊區域

例如:


奇奇奇


或是

偶偶
偶偶
奇奇奇

....等,共 \(C^3_2C^3_2\) 種。



所以,所求機率 \(\displaystyle=\frac{C^3_2C^3_2 5!4!}{9!}=\frac{1}{14}.\)

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回復 33# pizza 的帖子

單選第 4 題:
袋中有15個球,其中有紅球5個,編號1至5,白球10個,編號1至10,任意取兩球,試求球號之和小於7的機率
(A)\( \displaystyle \frac{1}{7} \) (B)\( \displaystyle \frac{23}{105} \) (C)\( \displaystyle \frac{5}{21} \) (D)\( \displaystyle \frac{9}{35} \) (E)\( \displaystyle \frac{29}{105} \)
[解答]
分母=\(C^{15}_2=105\)

再來算分子

點數和小於 \(7\) 的情況有:

6=1+5=2+4=3+3

5=1+4=2+3

4=1+3=2+2

3=1+2

2=1+1

分子=\(3\times C^2_2+6\times C^2_1C^2_1=27\)

所求=\(\displaystyle\frac{27}{105}=\frac{9}{35}\)

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回復 35# man90244 的帖子

計算第 1 題:
已知\(P\)為正方形\(ABCD\)內部的一點,若\( \overline{AP}=7 \),\( \overline{BP}=5 \),\( \overline{CP}=1 \),試求正方形\(ABCD\)的面積。
[解答]
解法一:




如圖,以 \(B\) 為旋轉中心,將 \(\triangle BCP\) 旋轉,

使得 \(\overline{BC}\) 貼齊 \(\overline{AB}\),且 \(P\) 旋轉至 \(Q\) 點位置,

則 \(\triangle PQB\) 是三內角為 \(45^\circ, 45^\circ, 90^\circ\) 的等腰直角三角形,

且 \(\overline{PQ}=5\sqrt{2}, \overline{PC}=\overline{AQ}=1\)

因為 \(\overline{AQ}^2+\overline{AP}^2=1^2+7^2=(5\sqrt{2})^2=\overline{PQ}^2\),所以 \(\triangle APQ\) 亦為直角三角形,

\(\cos\angle AQB=\cos\left(45^\circ+\angle AQP\right)\)

用和角公式展開,可得 \(\cos\angle AQB\)
在 \(\triangle AQB\) 中,用餘弦定理,即可得 \(\overline{AB}^2\)




解法二:

令 \(x=\overline{AB}\)

由餘弦定理,可得

\(\displaystyle\cos\angle ABP=\frac{x^2+5^2-7^2}{2\cdot 5\cdot x}, \cos\angle CBP=\frac{x^2+5^2-1^2}{2\cdot 5\cdot x}\)

因為 \(\angle ABP\) 與 \(\angle CBP\) 互餘,所以 \(\cos^2\angle ABP+\cos^2\angle CBP=1\)

\(\displaystyle \Rightarrow \left(\frac{x^2+5^2-7^2}{2\cdot 5\cdot x}\right)^2+\left(\frac{x^2+5^2-1^2}{2\cdot 5\cdot x}\right)^2=1\)

解 "\(x^2\)" 的一元二次方程式,可得 \(x^2=18\) 或 \(x^2=32\)

且因為 \(\angle ABP\) 為銳角,所以 \(\displaystyle \cos\angle ABP=\frac{x^2+5^2-7^2}{2\cdot 5\cdot x}>0\)

故,\(x^2=18\) 不合,

因此,\(x^2=32\)



解法三:



因為 \(\overline{PA}^2+\overline{PC}^2=\overline{PB}^2+\overline{PD}^2\)

(等號左右兩邊~都會等於四段彩色的線段平方之和)

\(7^2+1^2=5^2+\overline{PD}^2\Rightarrow\overline{PD}=5\),所以 \(\overline{PD}=\overline{PB} \)

因此,\(\triangle ABP\) 與 \(\triangle ADP\) 全等,\(\triangle CBP\) 與 \(\triangle CDP\) 全等,

故,\(A,P,C\) 三點共線,\(\overline{AC}=7+1=8\) 為對角線,

正方形 \(ABCD\) 邊長為 \(4\sqrt{2}\),面積為 \(32.\)

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回復 37# man90244 的帖子

新增第三種解法,請見上篇回覆最末端。:D

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回復 41# mcgrady0628 的帖子

之前打字漏掉括弧了~

是 "令 \(z=2\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\)"

然後利用 \(\displaystyle \frac{2}{z}=\frac{2}{2\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)}=\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)=\cos\theta-i\sin\theta\)

多喝水。

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