單選第 6 題：
由1至99的九十九個整數中，任取三個相異數，則此三數恰成等差數列的取法有多少種？
(A)1001 (B)1024 (C)1600 (D)1960 (E)2401
[解答]
若取出來的三相異數由小到大依序為 \(a,b,c\)，則 \(\displaystyle b=\frac{a+c}{2}\)

也就是只要 \(a,c\) 確定，則 \(b\) 就會跟著確定，

且 \(a+c\) 必定為偶數，

把 \(1\) 至 \(99\) 分成 \(50\) 個奇數與 \(49\) 個偶數，

只要由眾偶數中選出\(a,c\) 或眾奇數中選出 \(a,c\) 即可，

所以所求 \(=C^{50}_2+C^{49}_2=2401.\)

單選第 7 題
設\(a\)、\(b\)為實數，方程式\(x^2+2ax+b=0\)沒有實根，且各根之絕對值均為1，則\(b\)之值為何？
(A)1　(B)\(\sqrt{3}\)　(C)2　(D)\(\sqrt{5}\)　(E)\(\sqrt{6}\)
[解答]
\(x^2+2ax+b=0\)

\(\Rightarrow \left(x+a\right)^2=a^2-b\)

\(\Rightarrow x=-a\pm i\sqrt{b-a^2}\)

\(\Rightarrow \left|-a\pm i\sqrt{b-a^2}\right|=1\)

\(\Rightarrow (-a)^2+\left(\sqrt{b-a^2}\right)^2=1\)

\(\Rightarrow b=1\)


另解，

因為實係數方程式虛根成共軛對，

所以設兩虛根為 \(z_1, \overline{z_1}\)，

且依題敘，可知 \(\left|z_1\right|=\left|\overline{z_1}\right|=1\)

由根與係數關係式，可得 \(b=z_1\overline{z_1}=|z_1|^2=1.\)

單選第 10 題
函數\(f\)的圖形如下所示，則方程式\(f(f(x))=6\)的實數解有幾個？
(A)2　(B)4　(C)5　(D)6　(E)7
[解答]
\(f(y)=6\Rightarrow y=1 \mbox{ 或 } -2\)



如圖，可知 \(f(f(x))=6\) 共有 \(6\) 個實根。

單選第 3 題
設複數\(z\)滿足\(|\;z|\;=2\)，若\(\displaystyle \Bigg\vert\; z+\frac{2}{z}-1 \Bigg\vert\;=n\)，且\(n\)為整數，則\(n\)所有可能值的和為
(A)6　(B)10　(C)15　(D)21　(E)28
[解答]
令 \(z=2\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\)，則

\(\displaystyle\left|z+\frac{2}{z}-1\right|=n\)

\(\Rightarrow \left|3\cos\theta+i\sin\theta -1\right|=n\)

\(\Rightarrow \left|(3\cos\theta+i\sin\theta) -(1+0i)\right|=n\)

令 \(P(3\cos\theta, \sin\theta), Q(1,0)\)

則 \(P\) 是位在橢圓 \(\displaystyle\frac{x^2}{9}+y^2=1\) 上的動點，



故，滿足 \(\overline{PQ}=n\) 且 \(n\) 為整數的可能值有 \(1,2,3,4\)。

所以「\(n\) 所有可能值的和」是 \(1+2+3+4=10.\)


註：感謝 gamaisme 於後方回覆提醒～我沒有看清楚題目～：Ｐ

咦～～～對耶！

題目是問「n所有可能值的和為？」

所以答案是 \(1+2+3+4=10\) ！＝＝

註：感謝 gamaisme 提醒～我沒看清楚題目～：Ｐ

單選第 12 題：
設\(a\)、\(b\)、\(c\)為0到9的整數，\(a\)、\(b\)、\(c\)不可同時為0且不可同時為9。若將循環小數\(0.\overline{abc}\)化為最簡分數時，則分母有多少種情形？
(A)7　(B)8　(C)9　(D)10　(E)11
[解答]
\(\displaystyle 0.\overline{abc}=\frac{abc}{999}\)

其中分母 \(999=3^3\times37\)

所以， \(999\) 的正因數個數有 (3+1)(1+1)=8 個

扣掉 \(1\) 這一個（即當分子為 \(999\) ，不合），

還剩下 \(7\) 個。

哈～是 \(1+2+3+4=10\) ，

答案沒錯，我看錯～哈  ：Ｐ

單選第11題：
自圓\(C\)：\(x^2+y^2=4\)上取二點\(A\)、\(B\)，使此二點均在\(x\)軸上方，且折回劣弧\(AB\)恰與\(x\)軸切於點\((1,0)\)，求\(\overline{AB}\)方程式為何？
(A)\(2x-4y-5=0\)　(B)\(3x-4y+5=0\)　(C)\(2x+3y-5=0\)　(D)\(2x+3y+5=0\)　(E)\(2x+4y-5=0\)
[解答]
把褶完過後的圓畫出來，



實際上就是把原來的圓對稱 \(\overleftrightarrow{AB}\) 所得的結果，

所以褶完過後的圓半徑也是 2，

且因為與 \(x\)  軸相切於 \((1,0)\)

所以褶完過後之圓的圓心為 \((1,2)\)

可以寫出褶完過後所在的圓方程式，

再與題目所給的圓方程式相減，

就可以得到 \(\overleftrightarrow{AB}\) 直線的方程式了。



或是，求上兩圓的圓心之中垂線方程式亦可。

單選第 9 題：
空間中有三個點\(A(-1,2,5)\)，\(B(-2,1,2)\)，\(P(0,b,c)\)，則\( \overline{PA}^2+\overline{PB}^2 \)的最小値為
(A)6　(B)7　(C)8　(D)9　(E)10
[解答]
令 \(C\) 為 \(A,B\) 的中點，

在 \(\triangle ABC\) 中，

\(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2=2\left(\overline{AC}^2+\overline{PC}^2\right)\)

　　其中 \(\overline{AC}\) 為定值，

所以 \(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2\) 的最小值發生於當 \(\overline{PC}\) 為最小值的時候，

此時， \(P\) 為「 \(C\) 在 \(x=0\) 平面的投影點」，

　　　且 \(\overline{PC}\) 就是「 \(C\) 到 \(x=0\) 平面的距離」，

剩下略~

單選第 1 題：
設\(p,q\in R\)且\(p>0,q>0\)，若\(log_9 p=log_{12}q=log_{16}(p+q)\)，則\(\displaystyle \frac{q}{p}\)之值介於下列哪一個區間？
(A)\(\displaystyle (1,\frac{3}{2})\)　(B)\(\displaystyle (\frac{3}{2},2)\)　(C)\(\displaystyle (2,\frac{5}{2})\)　(D)\(\displaystyle (\frac{5}{2},3)\)　(E)\(\displaystyle (3,\frac{7}{2})\)
[解答]
令 \(\log_9 p = \log_{12} q = \log_{16}(p+q)=k,\)

則 \(p=9^k,q=12^k,p+q=16^k\)

\(\displaystyle \Rightarrow p+q=16^k=\left(\frac{12^2}{9}\right)^k=\frac{q^2}{p}\)

\(\Rightarrow p^2+pq-q^2=0\)

\(\displaystyle \Rightarrow \left(\frac{q}{p}\right)^2-\left(\frac{q}{p}\right)-1=0\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{q}{p}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\)

因為 \(p>0,q>0\)，所以 \(\displaystyle \frac{q}{p}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow \frac{3}{2}<\frac{q}{p}<2\)