感謝八神庵過了這麼久還記得去學校網站留意有沒有公佈題目
否則校方一拿掉公告這份題目就失傳了
2.
袋中有1,2,...,9號球各一個，每次自袋中取出一球，取後放回，共取n次，n次和為偶數的機率記為\( P_n \)，
求(1)\( P_{n+1} \)及\( P_n \)之關係式？ (2)\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n= \)？
不透明箱內有編號分別為1至9的九個球，每次隨機取出一個，紀錄其編號後放回箱內；以\( P_n \)表示前n次取球的編號之總和為偶數的機率。
求\( P_n= \)？(以n表示)
(99鳳新高中，
https://math.pro/db/thread-974-1-2.html)
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=4089#p4089
一袋中有5個球，分別寫上1、2、3、4、5號，今由其中任取一球記下其號碼後放回袋中，如此繼續n次，若\( P_n \)表紀錄到n次數字和為偶數的機率，則\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{2}-P_n)= \)？
(100中科實中，
https://math.pro/db/thread-1107-1-1.html)
3.
利用最小平方法得到二維數據\( (x_1,y_1) \),\( (x_2,y_2) \),...,\( (x_n,y_n) \),y對x的迴歸直線為\( y=a+bx \)，
另一組二維數據\( (u_1,v_1) \),\( (u_2,v_2) \),...,\( (u_n,v_n) \)是透過\( u=c+dx \)，\( v=e+fy \)所得到的，
已知\( a,b,c,d,e,d \)為定值，求v對u的迴歸直線方程式？
[答案]
\( \displaystyle y=(fa+e-\frac{bcd}{d})+\frac{bf}{d}x \)
7.
求方程式\( \displaystyle \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}}=y \)，
x，y的非負整數解，其中共有2011個√，且√指正根而言。
Find all possible integer solutions for \( \sqrt{x+\sqrt{x...(x+\sqrt{x}...)}}=y \), where there are 1998 square roots.
連結已失效h ttp://www.cs.cornell.edu/~asdas/imo/r41-50.html
補個類似題
試求方程\( x=\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+x}}} \)的所有的正根？
試求方程：\( x=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+x}}}} \)的根。
(初中數學競賽教程P353)
101.4.30補充
設\( [\; x ]\; \)表示不大於x最大整數，例如：\( [\; 3 ]\;=3 \)，\( [\; 2.3 ]\;=2 \)，\( [\; -2.5 ]\;=-3 \)，則
\( \displaystyle \Bigg[\; \sqrt{2010+\sqrt{2010+\sqrt{2010+\sqrt{2010+...+2010}}}} \Bigg]\; \)之值為何？
(其中共有2010個2010)
(建中通訊解題第82期)
[解答]
定義數列，\(a_{n+1}=\sqrt{2010+a_n}\)，\(a_1=\sqrt{2010}\)
\(\Rightarrow 44<a_1<45 \Rightarrow 45<\sqrt{2055}<\sqrt{2010+a_1}<\sqrt{2056}<46\Rightarrow 45<a_2<46\)
繼續如此的步驟
\(\Rightarrow 45<a_3<46 \Rightarrow 45<a_4<46 \Rightarrow \ldots \Rightarrow 45<a_{2010}<46\)
故所求\(=[a_{2010}]=45\)
113.4.10補充
令\( \displaystyle x=\sqrt{2024+\sqrt{2024\ldots+\sqrt{2024+\sqrt{2024+\sqrt{2024}}}}} \)，其中2024共出現2024次，則\([x]=\)
。
註：\([x]\)表示小於或等於\(x\)的最大整數。
(113北一女中，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3828&page=1#pid25679)
