當 \(a\to 0\) 時，

四面體體積不就 \(\to 0\) 了。

題目沒有漏掉條件嗎？

第 3 題：

設 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 的算術平均數為 \(\overline{x}\)，標準差為 \(S_x\)，

　 \(y_1,y_2,\cdots,y_n\) 的算術平均數為 \(\overline{y}\)，標準差為 \(S_y\)，

　 \(u_1,u_2,\cdots,u_n\) 的算術平均數為 \(\overline{u}\)，標準差為 \(S_u\)，

　 \(v_1,v_2,\cdots,v_n\) 的算術平均數為 \(\overline{v}\)，標準差為 \(S_v\)，

　 \(X\) 與 \(Y\) 的相關係數為 \(r_{XY}\)，\(U\) 與 \(V\) 的相關係數為 \(r_{UV}\)，


＜＜先來看看已知蝦咪＞＞

因為 \(y\) 對 \(x\) 的迴歸直線為 \(y=a+bx\)，

所以 \(\overline{y}=a+b\overline{x}\) 且 \(\displaystyle b=r_{XY}\cdot\frac{S_y}{S_x}\)



＜＜再來看看最後是找出來蝦咪東西，寫過程的時候這一塊通常反而是會很後面才說～＞＞
｜
｜　　\(v\) 對 \(u\) 的迴歸直線必通過 \((\overline{u},\overline{v})\)，
｜
｜　　且其斜率為 \(\displaystyle r_{UV}\cdot\frac{S_v}{S_u}\)
｜
└──────────────────────────＜其實這塊只是在思考接下來要怎樣走～不用寫啦＞


＜＜好吧，要把這兩者扯再一起了～＞＞

因為 \(u=c+dx\)，所以 \(\displaystyle \overline{u}=c+d\overline{x}\Rightarrow \overline{x}=\frac{\overline{u}-c}{d}\)

因為 \(v=e+fy\)，所以 \(\displaystyle \overline{v}=e+f\overline{y}\Rightarrow \overline{y}=\frac{\overline{v}-e}{f}\)

因為 \(\overline{y}=a+b\overline{x}\)，所以 \(\displaystyle \frac{\overline{v}-e}{f}=a+b\left(\frac{\overline{u}-c}{d}\right)\)　　　───（＊）

且

\(\displaystyle r_{UV}\cdot\frac{S_v}{S_u}=\frac{df}{|df|}r_{XY}\cdot\frac{|f|S_y}{|d|S_x}\)

　　　　　　　　\(\displaystyle =\frac{df}{|d|^2}\cdot r_{XY}\cdot\frac{S_y}{S_x}\)

　　　　　　　　\(\displaystyle =\frac{f}{d}\cdot b\)



＜＜再來招喚剛剛思考的那塊～＞＞

因為 \(v\) 對 \(u\) 的迴歸直線必通過 \((\overline{u},\overline{v})\)，

且其斜率 \(\displaystyle r_{UV}\cdot\frac{S_v}{S_u}=\frac{f}{d}\cdot b\)

因此，\(v\) 對 \(u\) 的迴歸直線為

\(\displaystyle v-\overline{v}=\frac{f}{d}\cdot b(u-\overline{u})\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{v-\overline{v}}{f}=\frac{b}{d}(u-\overline{u})\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{(v-e)-(\overline{v}-e)}{f}=\frac{b}{d}\left((u-c)-(\overline{u}-c)\right)\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{v-e}{f}-\frac{\overline{v}-e}{f}=\frac{b(u-c)}{d}-\frac{b(\overline{u}-c)}{d}\)

將（＊）帶入可得

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{v-e}{f}-a=\frac{b(u-c)}{d}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{v-e}{f}=a+b\cdot\frac{u-c}{d}\)

結束。





然後，下次如果是考填充題，那就～

把 \(\displaystyle u=c+dx, v=e+fy\Rightarrow x=\frac{u-c}{d}, y=\frac{v-e}{f}\) 帶入 \(y=a+bx\)

即可得 \(\displaystyle \frac{v-e}{f}=a+b\cdot\frac{u-c}{d}\)

第 12 題：

已知 \(p(0)=a_0\) 為奇數，且 \(p(1)=a_n+a_{n-1}+\cdots+a_0\) 亦為奇數，

假設 \(p(x)=0\) 有整數根 \(\alpha\)，

若 \(\alpha\) 為偶數，則

　　\(p(\alpha)=a_n\alpha^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots+a_1\alpha+a_0\equiv a_0\equiv 1\pmod{2}\)

　　\(\Rightarrow p(\alpha)\not\equiv0\pmod2\) 此與 \(p(\alpha)=0\) 互相矛盾。

若 \(\alpha\) 為奇數，則

　　\(p(\alpha)=a_n\alpha^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots+a_1\alpha+a_0\)

　　　　　　　　\(\equiv a_n\cdot1^n+a_{n-1}\cdot1^{n-1}+\cdots+a_1\cdot1+a_0\)

　　　　　　　　\(\equiv a_n+a_{n-1}+\cdots+a_0 \equiv 1\pmod{2}\)

　　\(\Rightarrow p(\alpha)\not\equiv0\pmod2\) 此與 \(p(\alpha)=0\) 互相矛盾。

因此，\(p(x)=0\) 既無偶數根，亦無奇數根，

可得 \(p(x)=0\) 無整數根。

第 1 題：設 \(A,B,C,D\) 表 \(z^4−z^2+1=0\) 之四根在複數平面上的對應點，又 \(P\) 表複數 \(i\) 在複數平面上的對應點，則 \(\overline{PA}\cdot\overline{PB}\cdot\overline{PC}\cdot\overline{PD}\)＝？

解答：

設 \(f(x)=z^4-z^2+1=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)(x-\delta)\)

\(\overline{PA}\cdot\overline{PB}\cdot\overline{PC}\cdot\overline{PD}=\left|i-\alpha\right|\cdot\left|i-\beta\right|\cdot\left|i-\gamma\right|\cdot\left|i-\delta\right|\)

　　　　　　　\(=\left|\left(i-\alpha\right)\left(i-\beta\right)\left(i-\gamma\right)\left(i-\delta\right)\right|\)

　　　　　　　\(=\left|f(i)\right|=\left|i^4-i^2+1\right|=3\)