單選第 6 題

解一：

令 \(\displaystyle \tan\frac{x}{2}=t\)，

則 \(\displaystyle \frac{1-t^2}{1+t^2}+3\cdot\frac{2t}{1+t^2}+2=0\)

　 \(\Rightarrow t^2+6t+3=0\)

所以，\(\displaystyle \tan\frac{\alpha}{2}+\tan\frac{\beta}{2}=-6, \tan\frac{\alpha}{2}\cdot\tan\frac{\beta}{2}=3\)

\(\displaystyle \tan\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{-6}{1-3}=3\)

\(\displaystyle \tan\left(\alpha+\beta\right)=\frac{2\cdot 3}{1-3^2}=-\frac{3}{4}.\)


解二：

畫出 \(x^2+y^2=1\) 與 \(x+3y+2=0\) 的圖形，



可得 \(\displaystyle \tan\frac{\alpha+\beta}{2}=\mbox{紅色線段的斜率}=3\)

\(\displaystyle \Rightarrow\tan\left(\alpha+\beta\right)=\frac{2\cdot 3}{1-3^2}=-\frac{3}{4}.\)

單選第 9 題：

令此一元二次方程式的兩根為 \(\alpha,\beta\)

由根與係數關係式，可得 \(\alpha+\beta=6i.\)

第 13 題：

(A) 反例：\(f(x)=x^3\) 滿足 \(f'(0)=0\)，但在 \(x=0\) 時並不是極值。

(B) 反例：\(f(x)=x^4\) 滿足 \(f''(0)=0\)，但在 \((0,f(0))\)並不是反曲點。

(C) 對，若 \(f(x)\) 為 15 次多項式，則 \(f''(x)=0\) 至多只有 13 個相異根。

(D) 對，若 \(f(x)\) 在 \(x=a\) 點可微，則對任意異於 \(a\) 的 \(x\)，

　　　　恆有 \(\displaystyle f(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot(x-a)+f(a)\)

　　　　所以，\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}\left(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot(x-a)+f(a)\right)\)

　　　　　　　　　　\(=f'(a)\cdot 0 +f(a)=f(a)\)

(E) 反例：\(f(x)=x\)

單選第 11 題：

將 \(\displaystyle f(\frac{x^2-1}{x^2+1})=x\) 左右兩邊同時對 \(x\) 微分，

可得 \(\displaystyle f'(\frac{x^2-1}{x^2+1})\cdot \frac{4x}{x^4+2x^2+1}=1\)

　　 \(\displaystyle \Rightarrow f'(\frac{x^2-1}{x^2+1})=\frac{x^4+2x^2+1}{4x}\)　‧‧‧（＊）

先解 \(\displaystyle \frac{x^2-1}{x^2+1}=0\)，可得 \(x=\pm 1\)，

所以將 \(x=\pm1\) 帶入 （＊），

可得 \(f'(0)=\pm1\)，

故，\(f'(0)\) 的所有可能值之和為 \(1+(-1)=0.\)

有朋友問，解完順便ＰＯ上來。

單選第 8 題：

令5次中有 a 次正面，b次反面，

則

case 1: a+b=5 且 30+a*10-b*10=60

解出 a=4,b=1

再看有幾種乙在第五局獲勝的方式

（＋＋－＋＋）
（＋－＋＋＋）
（－＋＋＋＋）

再算機率為 3*(1/2)^5

case 2: a+b=5 且 30+a*10-b*10=0

解出 a=1,b=4

再看有幾種甲在第五局獲勝的方式

（－－＋－－）
（－＋－－－）
（＋－－－－）

再算機率為 3*(1/2)^5

兩者機率和＝3/32+3/32=3/16 即為所求

填充第 3 題：

qq1.png (41.06 KB)

2012-6-1 17:01

構照如圖的正方形，由正方形扣去角落三個三角形面積，可得答案。


另外，如果不取巧的話，如下圖，

qq2.png (7.68 KB)

2012-6-1 17:10

用兩個畢氏定理就可以得 \(x\)，

進而得高與面積。