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100麗山高中

回復 35# weiye 的帖子

17 題的出處應該是 TRML 2001 個人賽
數字跟著年改了而已

看出規律,或依某種順序的運算當然都可以找出答案。

之前也寫過這題,個人比較雞婆一點,喜歡把它說清楚:

定義運算 \( a\otimes b=ab+a+b=(a+1)(b+1)-1 \) 。

易驗該運算滿足交換律及結合律。

而我們的 2010 次操作,實際上就是將這 2011 個數以此運算及括號串在一起。

上面說的那句話,用數學歸納一寫,馬上就得證了。

再把所有括號那掉,那順序排,乘出來就是答案了。
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回復 50# weiye 的帖子

其實,要模仿因式分解,也是可以。

如 weiye 老師所寫 \( p^n -q^n \) 亦具有遞迴關係。但不妨向後遞迴,要把 17 次方 看作 18 次方減 16 次方,即

\( p^{17}-q^{17} = (p^{18} - q^{18}) - (p^{16}-q^{16}) \)

然後 18 次方處理 \( p^{18}-q^{18}=(p^6-q^6)(p^{12}+p^6q^6+q^{12}) \)

而 \( p^6-q^6=(p^2-q^2)(p^4+p^2q^2+q^2) \)

可以先算 \( p^2 -q^2 \) (可分解),再平方補交叉項(常數) 可得 \( (p^4+p^2q^2+q^2) \)

之後就有 \(p^6-q^6 \),同樣手洲可得 \( (p^{12}+p^6q^6+q^{12}) \)

以上,只是用其實只是用平方和乘法讓次數跳快一點,減少遞迴次數。

不過這依賴於因式分解的樣子,所以也許不是很實用?或者能否一般化呢?

而16 次方的處理, thepiano 老師,已經做得很漂亮了。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-29 02:16 PM 編輯 ]
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回復 54# shingjay176 的帖子

關於填充12

當首項一樣的時候,公比愈大,可以放的項數就愈少,

所以一樣分母是 \( q \) 的之中(可以有一樣的首項),就要取  \( p = q+1 \)

這樣項數才可以盡可能的多
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回復 61# clovev 的帖子

21 題,你的範圍??

如果 x 在 a 附近,[3x+1] 的值可能只有一個或二個(當 3a+1 為整數)

而 a 的附近 \( 2x-\frac12 \) 單調遞增,因此也頂多 2 個使得等號成立

所以你的範圍,應該是漏驗了等式了

13. 先當作這個類似問題 \( x+y+z =50 \) 的非負整數解,兩個問題的解其實很接近,所以扣掉不一樣的解就可以了

如果覺得不夠簡潔,那就另找個更接近的目題,而且會解,一樣扣除不一樣的。
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