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14題
老樣子,我都會去想如何做出這樣的三角形
假設角A的平分線與BC交於D,那麼由\( AD^2=AB \times AC-BD \times CD \)
可以得到\( BD \times CD=6 \)
又\( AB:AC=BD:CD \)
可以得到\( AB^2:BD^2=5:2 \),也就是 \( AB:BD=\sqrt5:\sqrt2=AI:ID \),其中I為內心
這告訴我們內心位置是固定的
就可以控制內切圓半徑r,去做出三角形ABC,作法是
作線段AD,並取出I
已I為心,r為半徑作內切圓
過A作圓的兩條切線
過D作圓的一條切線
此三切線所圍的三角形就是三角形ABC
因為\( AB \times AC \)是定值,所以過A的兩切線夾角越大,三角形ABC面積就越大;
顯然r的限制是\( r \le ID \)
所以當\( r=ID \)時夾角最大,此時三角形對稱於AD,為等腰三角形,簡單計算就可以得到答案。