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100麗山高中

pdf & doc 版題目卷

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2011-6-15 15:54, 下載次數: 14909

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2011-6-15 15:57, 下載次數: 13285

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回復 3# 紫月 的帖子

第 11 題:設 \(a\geq b\geq c\geq-2\) 且 \(3a + 2b - c = 4\),則 \(a + 2b + c\) 之最大值=?

解答:

令 \(x=a-b, y=b-c, z=c+2\)

\(3a + 2b - c = 4\)

\(\Rightarrow 3(a-b)+5(b-c)+4(c+2)=12\)

\(\Rightarrow 3x+5y+4z=12\)

則要滿足的限制條件為 \(3x+5y+4z=12,x\geq0,y\geq0,\) 且 \(z\geq0\)

滿足條件的區域為一個三角形,

且此三角形的各頂點為 \((4,0,0), (0,\frac{12}{5},0),(0,0,3)\)


再來研究目標函數~

\(a + 2b + c = (a-b)+3(b-c)+4(c+2)-8\)

    \(=x+3y+4z-8\)

目標函數為 \(x+3y+4z-8\)

將各頂點帶入,可知當 \((x,y,z)=(0,0,3)\) 時,

       \(x+3y+4z-8=4\) 為最大值,

       亦即,當 \((a,b,c)=(1,1,1)\) 時,

       \(a + 2b + c=4\) 為最大值。

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回復 5# RainIced 的帖子

填充第 9 題

令 \(ax^{17}+bx^{16}+1=\left(x^2-x-1\right)\left(a_{15} x^{15} + a_{14} x^{14} +\cdots+a_1 x+a_0\right)\)

把左式用分離係數法乘開如下:




註:解完才發現,thepiano 老師的解法更棒~詳見 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=6349#p6349

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回復 5# RainIced 的帖子

填充第 10 題:

因為 \(a>0,b>0\) 且 \(\displaystyle \frac{a+b}{a^2+ab+b}=\frac{2}{11}\)

所以,令 \(a+b=2k, a^2+ab+b=11k\),其中 \(k\) 為正整數,



\(a^2+ab+b=11k\)

\(\Rightarrow a(a+b)+b=11k\)

\(\Rightarrow 2ak+b=11k\)

\(\Rightarrow b=k(11-2a)>0\)

\(\Rightarrow 11-2a>0\)

\(\displaystyle \Rightarrow 0<a<\frac{11}{2}\)

\(a=1,2,3,4,\mbox{ 或 }5\)

帶入 \(\displaystyle \frac{a+b}{a^2+ab+b}=\frac{2}{11}\)

可解得只有 \((a,b)=(5,5)\) 會使得 \(a,b\) 皆為正整數,

但是,題目有說 \(a>b,\)

所以此題無解。

註:亦可參見 thepiano 老師更快的解法步驟:http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=6349#p6349 ^__^

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回復 8# martinofncku 的帖子

填充第 2 題

令 \(f(x)=(x-1)(x+1)^{30}=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots+a_{31}x^{31}\)

則 \(f'(x)=(x+1)^{30}+(x-1)\cdot30(x+1)^{29}\)

\(a_1+2a_2+3a_3+\cdots+31a_{31}=f'(1)=2^{30}\)

且因為 \(a_0=f(0)=-1\)

所以,\(a_0+a_1+2a_2+3a_3+\cdots+31a_{31}=2^{30}-1=1024\times1024\times1024-1=1073741823.\)

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回復 8# martinofncku 的帖子

填充第 4 題

因為 \(B(p,q)\) 點位在 \(x-y-1=0\) 直線上,

所以 \(p-q-1=0\Rightarrow p-q=1\)

\(\displaystyle x+y=\frac{p}{p^2-q^2}+\frac{q}{p^2-q^2}=\frac{p+q}{p^2-q^2}=\frac{1}{p-q}=1\)

\(\Rightarrow x+y-1=0\)

故,\(A(x,y)\) 點位在 \(x+y-1=0\) 直線上。




至於能否證明 \(A\) 的軌跡就是一整條直線~~~

\(\displaystyle x=\frac{p}{p^2-q^2}=\frac{p}{(p-q)(p+q)}\)

 \(\displaystyle =\frac{p}{p+q}=\frac{p}{p+(p-1)}\)

 \(\displaystyle =\frac{p}{2p-1}\)

\(\displaystyle \Rightarrow p=\frac{x}{2x-1}\)

故,只要 \(x\) 不等於 \(\displaystyle \frac{1}{2}\),都可以找到 \(\displaystyle p=\frac{x}{2x-1}\)。

使得 \(B(p,q)\) 對應的 \(A(x,y)\) 落在 \(x+y-1=0\) 直線上。


至於 \(x+y-1=0\) 直線上的點 \(\displaystyle (\frac{1}{2},\frac{1}{2})\)

似乎找不到對應的 \(B(p,q)\) ?

所以答案應該是~~~~ \(x+y-1=0\) 扣掉一點 \(\displaystyle (\frac{1}{2},\frac{1}{2})\).



不知以上討論是否有疏漏的地方?^__^

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回復 11# martinofncku 的帖子

不是做錯,是沒做完~~

題目要求 \(A\) 點軌跡方程式,

就是要求 \(x,y\) 要滿足的關係式,

而你列的式子最後還是有在變動的 \(p,q\)

而不是單純只有 \(x,y\) 。

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回復 13# martinofncku 的帖子

不是,

\(p,q\) 是變數,

\(B(p,q)\) 是位在 \(x-y-1=0\) 直線上的動點。

如果 \(p,q\) 是常數的話,

那 \(\displaystyle A(x,y)=(\frac{p}{p^2-q^2},\frac{q}{p^2-q^2})\) 就是定點了,

何必求軌跡方程式呢?:P

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回復 19# 阿光 的帖子

第 6 題:

因為圓 \(O\) 為過 \(C\) 且與 \(\overline{AB}\) 相切的最小圓,

所以 \(\overline{CD}\) 為直徑,

\(\displaystyle \overline{CD} = \frac{\overline{AC}\times \overline{BC}}{\overline{AB}}=\frac{24}{5}\)

因為 \(\angle FCE=90^\circ\)

所以 \(\overline{EF}\) 亦為圓 \(O\) 的直徑,

故, \(\displaystyle \overline{EF}=\overline{CD}=\frac{24}{5}.\)


第 18 題:

此正三角形邊長 \(=1+13+2=16\)

\(\overline{AF}\times \overline{AG} = \overline{AH}\times \overline{HI}\)

  \(\Rightarrow 15\times2=\overline{AH}\times(\overline{AH}+7)\)

  \(\Rightarrow \overline{AH}=3\)

  \(\Rightarrow \overline{BI}=16-(7+3)=6\)

令 \(\overline{CE}=x, \overline{BD}=y\)

由 \(\overline{CF}\times \overline{CG}=\overline{CE}\times \overline{CD}\)

  且 \(\overline{BI}\times \overline{BH}=\overline{BD}\times \overline{BE}\)

可得 \(x(16-y)=14\) 且 \(y(16-x)=78\)

兩式相減,再以帶入消去法,

可解得 \(x=6-\sqrt{22}, y=10-\sqrt{22}\)

故,\(\overline{DE}=16-(x+y)=2\sqrt{22}.\)









第 24 題

第 1 小題



如圖,先塗紅色區域,再塗藍色區域,

然後每兩個為一組塗色區域,

可得所求=\((5\times 4)\times(1\times4+3\times3)^7=20\times 13^7\)

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回復 19# 阿光 的帖子

第 5 題:



如圖,延長題目的各線段,使之交圓於圖中 \(E,F,G\) 各點,則

\(\overline{AB}^2=\overline{BC}\times \overline{BE}\)

\(\Rightarrow \overline{BE}=12\)

\(\Rightarrow \overline{ED}=6\)

設 \(\overline{OF}=r\)

由 \(\overline{DF}\times \overline{DG}=\overline{DC}\times \overline{DE}\)

可得 \((r-2)(r+2)=3\times6\)

   \(\Rightarrow r=\sqrt{22}\)

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