填充第 6 題：
設\(f(x)\)表定義為正整數的函數，且\(f(1)=999\)，又對\(n\ge 2\)的任意正整數\(n\)，恆有\(f(1)+f(2)+f(3)+\ldots+f(n)=n^2f(n)\)，求\(f(999)=\)？
[解答]
對任意 \(n\geq 2\)，恆有

　　\(\displaystyle \sum_{k=1}^n f(k)=n^2 f(n)\)

　　\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} f(k)=(n-1)^2 f(n-1)\)

將上兩式相減，可得

　　\(f(n)=n^2 f(n) - (n-1)^2 f(n-1)\)

　　\(\Rightarrow (n^2-1) f(n) = (n-1)^2 f(n-1)\)

　　\(\Rightarrow (n+1)  f(n) = (n-1) f(n-1)\)

　　\(\displaystyle \Rightarrow f(n) = \frac{n-1}{n+1} f(n-1)\)


所以，


　　\(\displaystyle f(n) = \frac{n-1}{n+1}\cdot f(n-1)\)

　　\(\displaystyle f(n-1) = \frac{n-2}{n}\cdot f(n-2)\)

　　\(\displaystyle f(n-2) = \frac{n-3}{n-1}\cdot f(n-3)\)

　　　　　\(\cdots\)

　　\(\displaystyle f(2) = \frac{1}{3}\cdot f(1)\)

將上列各式相乘，可得

　　\(\displaystyle f(n)=\frac{2\cdot 1}{(n+1)\cdot n}\cdot f(1)\)

故，

　　\(\displaystyle f(999) = \frac{2\cdot 1}{100\cdot 999}\cdot f(1)\)

　　　　　　\(\displaystyle=\frac{1}{500}\)

第 7 題：
袋中有編號1,2,3,4,5,6,7號的球各一個，設每一球被取到的機會相等，今由袋中一次任取一球，每次取完後均放回袋中再取，令\(a_n\)表取完\(n\)次後所取球號總和為3的倍數的機率,求\(a_4=\)？
[解答]
令 \(\displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2},\)

　 \(f(x)=(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7)^4\)

則

所求機率 \(\displaystyle =\frac{f(x) \mbox{ 展開式中} x \mbox{ 的 } 3,6,9,... \mbox{ 次方項的係數和}}{7^4}\)

　　　　 \(\displaystyle =\frac{\frac{1}{3}\left(f(1)+f(\omega)+f(\omega^2)\right)}{7^4}\)

　　　　 \(\displaystyle =\frac{\frac{1}{3}\left(2401+\omega+\omega^2\right)}{2401}\)

　　　　 \(\displaystyle =\frac{800}{2401}\)

紅色部分的面積　－　藍色部份的面積值



等於



扣掉

\((x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7)^4\)

　　\(=(x+x^2+\cdots+x^7)\cdot(x+x^2+\cdots+x^7)\cdot(x+x^2+\cdots+x^7)\cdot(x+x^2+\cdots+x^7)\)

若第一二三四個括弧分別選出 \(x^p, x^q,x^r,x^s\) 來相乘變成了 \(x^{p+q+r+s}\) 這一項，

就相當於第一二三四次取球時，

分別選出球號為 \(p,q,r,s\) 來，使得總和為 \(p+q+r+s\) 這一種可能，

所以，

看有多少 \(p,q,r,s\) 會使得 \(p+q+r+s=n\)，

就是看有多少種 \(x^p, x^q,x^r,x^s\) 來相乘變成了 \(x^{p+q+r+s}\,(=x^n)\) 這一項

也就是對應到 \(x^{p+q+r+s}\,(=x^n)\) 這一項的係數到底是多少。

也就是說～

\((x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7)^4\) 展開後的 \(x^n\) 項係數所表示的意義是「四次取球後，會使得球號和為 \(n\) 的取球方法數」

更深入閱讀的話～可以 google 關鍵字「生成函數」^__^

第七題

IMG_20190810_063948~2.jpg (183.34 KB)

2019-8-10 06:43

另解4：

分母＝\(7^4\)

分子：算 \(x_1+x_2+x_3+x_4=6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 29\) 有多少組 \((x_1, x_2, x_3, x_4)\) 解滿足 \(x_1, x_2, x_3, x_4\in\left\{1,2,3,4,5,6,7\right\}\)

　　　（略述：利用 H 列式～超過要扣，總和太大要改算反面和～）

看來是我的另解二想錯了，

3k與3k+2的球數相同，

不一定號碼數總和除3之後餘0與2的機率就會相同。 : )



沒想到剛好隔三次取球之後，機率剛好就會相同。

如附圖中的 x 與 y  相同，則隔三次取球之後機率亦相同。

x.png (16.03 KB)

2019-8-9 15:54