(1)
令\( F_1,F_2 \)為橢圓的兩焦點，PQ為給定直線
求作此橢圓平行於PQ的切線
作法:
先作橢圓的長軸AB
以 \( F_2 \) 為圓心，AB為半徑作圓
過 \( F_1 \)作PQ的垂線，交圓於C、D
分別作 \( F_1C \)和 \( F_1D \) 的中垂線即為所求

證明
連接 \( F_2C \)交\( F_1C \)中垂線於K
\( KC=KF_1 \)
所以\( KF_1+KF_2=KC+KF_2=F_2C=AB \)
故K在橢圓上
又\( F_1C \)中垂線就是 \( \angle{F_1KF_2} \)的外角平分線
故為過K的切線

另一條同理

[ 本帖最後由 老王 於 2011-6-11 10:42 AM 編輯 ]

(2)
令\( F_1,F_2 \)為橢圓的兩焦點，P為橢圓外一點
求作過P作此橢圓的切線
作法:
先作橢圓的長軸AB
以 \( F_2 \) 為圓心，AB為半徑作圓
以P為圓心， \( PF_1 \)為半徑作圓，交上圓於C、D
分別作 \( F_1C \)和 \( F_1D \) 的中垂線即為所求

證明
留作習題

[ 本帖最後由 老王 於 2011-6-11 10:46 AM 編輯 ]

猜測是反曲點的切線斜率

引用:

原帖由 rudin 於 2011-6-11 11:03 AM 發表
y=1/(1+x^2)上相異兩點P,Q，求直線PQ的斜率之最大值？

我覺得這題出得有點問題，均值定理告訴我們必有一點切線斜率會等於\( \frac{f(a)-f(b)}{a-b} \)
但可沒說對每一點都存在兩點使得\( \frac{f(a)-f(b)}{a-b}=f'(c) \)
舉例來說
\(\displaystyle Let f(x)=x^3 \)
\(\displaystyle f'(x)=3x^2 \ge 0 \)
\(\displaystyle but \forall a \ne b , \frac{f(a)-f(b)}{a-b}=\frac{a^3-b^3}{a-b}=a^2+ab+b^2=(a+\frac{b}{2})^2+\frac{3}{4}b^2 \)
只有在\(\displaystyle a=b=0 \)的時候才會等於0
所以這有問題，只能說是最小上界和最大下界。