第14題
若\(\displaystyle \lim_{x\to \infty}\left(\frac{x+a}{x-a}\right)^x=e\)，求\(a=\) 。
[解答]
由\(e\)的定義: \(\displaystyle e= \lim_{ n \to \infty } ( \frac{n+1}{n} )^n \)
感覺只有分母分子上下差1，就會收斂到\(e\)
實際證明
設\(n = x-a\)
則
\(\displaystyle \lim_{ x \to \infty } ( \frac{x+a}{x-a} ) ^ x
= \lim_{ n \to \infty } ( \frac{n+2a}{n} )^{(n+2a)}
= \lim_{ n \to \infty } ( \frac{n+2a}{n} )^n \times ( \frac{n+2a}{n} )^{2a}
= e^{2a} \times 1 \)
故當 \( a= \frac{1}{2} \) 時，收斂到\(e\)
