回復 16# 沙士 的帖子
仔細推敲一下 bugmens大所寫的，背後應該是插值多項式和差分。
令 \( f_{n}=f(n)=c_{0}C^n_0+c_{1}C^n_1+c_{2}C^n_2+c_{3}C^n_3 \)，其中 \( C^n_k=\frac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k!} \) 。
大家都知道三次多項式，三次差分為常數，但仔細看一下差分究竟跑出什麼東西…就有可能從那些差分的的結果湊出三次式。
遞迴定義差分 \( \Delta^{k+1}a_{n}=\Delta^{k}a_{n+1}-\Delta^{k}a_{n}, \Delta^{0}a_{n}=a_{n} \)。
Pascal 定理 \( \Rightarrow\Delta C^n_{k+1}=C^n_k \)。由此可得以下：
當差分的次數為 \( k \) 時，\( \Delta^{k} C^n_k= C^n_0=1 \)。
當差分的次數 \( l<k \) 時， \( \Delta^{l}C^n_k \Rightarrow C^n_{l-k} \Rightarrow \Delta^{l} C^n_k\mid_{n=0}=0 \)。
當差分的次數 \( l>k \) 時，\( \Delta^{l} C^n_k \)。
因此 \( \Delta^{k}f(0)=c_{k} \), for \( k=0,1,2,3 \)。
回覆 4# Fermat 的帖子
看起 bugmens 大，是用三次差分為常數，也就是最左邊那排數字是等 f(1)~f(4) 差分做完後才寫的。
不知道有沒有猜錯？
打完這篇，又學到一招了，真是令人高興！！
(\binom 不能用，只好改成 C 了)
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前幾天有人問了寸絲 101 台中一中 \( \sum k^4 \) 怎麼做
https://math.pro/db/thread-1334-1-1.html
不知道，怎麼了，就答了用這招 + Pascal 定理
更神奇的是，閃出這個東西到底是什麼了，
這個方法，其實就是好幾年前，在大學時，學牛頓插值多項式的數值算法
也是牛頓插值多項式優於拉格朗日多項式的地方，當多了一個插值點時，計算不用重做
只要加進去，補到後面，繼續差分就好了，
真是感嘆...想不到東西已經還給老師，看到這個手法這麼久了，現在才想起來
[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-2 04:52 PM 編輯 ]
