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1.
自然數中，若含有比5大的質因數，則把他去掉，剩下的自然數由小到大排成一數列\(\langle\;b_n\rangle\;=\langle\;1,2,3,4,5,6,8,\ldots\rangle\;\)，則\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{b_n}=\)
[解答]
原式=(1+1/2+1/2^2+...)(1+1/3+1/3^2+...)(1+1/5+1/5^2+...)=15/4
8.
\(\displaystyle S=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{10000}}\)，則\([S]=\) ([]為高斯符號)
[提示]
94台南一, 97省四區口試, 各校教甄常考題
補一下3,5,6的想法
3.
以\(x^2+4y^2=12\)的焦點為焦點，且過直線\(L\)：\(x-y+9=0\)的一點\(M\)作一橢圓。欲使橢圓的長軸最短，則橢圓的方程式為 。
[解答]
設此橢圓Γ：x^2 /(12+t)+y^2 /(3+t)=1, t實數, 其兩焦點F(3,0), (-3,0)
L：y=x+9
Γ, L相切時，橢圓長軸最短
=> 斜率為1的切線y=1*x+-sqrt[(12+t)*1^2+(3+t)]
=> sqrt[(12+t)*1^2+(3+t)]=9
=> 2t+15=81, t=33
=> Γ：x^2 /45+y^2 /36=1
5.
正八面體\(ABCDEF\)的邊長為2，如圖，已知\(A\)為原點，\(ADE\)為\(xy\)平面上的點，\(B\)為\(yz\)平面上的點，則點\(B\)到\(y\)軸的距離= 。
[解答]
設正八面體任兩相鄰面所夾二面角為θ
=> cosθ=(3+3-8)/[2*sqrt(3)*sqrt(3)]=-1/3, sinθ=2sqrt(2) /3
所求=sqrt(3)sinθ=2sqrt(6) /3
6.
兩正方形\(ABCD\)與\(EFGH\)邊長均為1，其中\(ABCD\)固定平放在直線\(L\)上，如圖所示。若正方形\(EFGH\)之一頂點\(H\)在\(\overline{CD}\)上移動，且另一頂點\(G\)在直線\(L\)上移動，當\(\overline{BE}=\overline{BF}\)時，\(\overline{CG}=\)
[解答]
因BE=BF, 所以B在EF中垂線上
=> B在HG的中垂線上 => BH=BG
設CG=a, CH=b
=> 1+b^2=BH^2=BG^2=(1+a)^2
=> b^2=a^2+2a, a^2+b^2=1
=> 2a^2+2a-1=0
=> a=[-1+sqrt(3)]/2
