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100北一女中

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100北一女中

只有填充題部份8題
如附件

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北一女中100學年度教師甄試筆試數學科測驗題暨答案.pdf (134.91 KB)

2011-6-2 19:46, 下載次數: 8272

100北一女中

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回復 1# Fermat 的帖子

1. 原式=(1+1/2+1/2^2+...)(1+1/3+1/3^2+...)(1+1/5+1/5^2+...)=15/4

8. 94台南一, 97省四區口試, 各校教甄常考題


補一下3,5,6的想法
3.
設此橢圓Γx^2 /(12+t)+y^2 /(3+t)=1, t實數, 其兩焦點F(3,0), (-3,0)
Ly=x+9
Γ, L相切時,橢圓長軸最短
=> 斜率為1的切線y=1*x+-sqrt[(12+t)*1^2+(3+t)]
=> sqrt[(12+t)*1^2+(3+t)]=9
=> 2t+15=81, t=33
=> Γx^2 /45+y^2 /36=1

5.
設正八面體任兩相鄰面所夾二面角為θ
=> cosθ=(3+3-8)/[2*sqrt(3)*sqrt(3)]=-1/3, sinθ=2sqrt(2) /3
所求=sqrt(3)sinθ=2sqrt(6) /3

6.
BE=BF, 所以BEF中垂線上
=> BHG的中垂線上 => BH=BG
CG=a, CH=b
=> 1+b^2=BH^2=BG^2=(1+a)^2
=> b^2=a^2+2a, a^2+b^2=1
=> 2a^2+2a-1=0
=> a=[-1+sqrt(3)]/2


[ 本帖最後由 Fermat 於 2011-6-3 09:48 AM 編輯 ]

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7.
求首項係數為2,且滿足\( 4f(1)=3f(2)=2f(3)=f(4) \)的三次多項式\( f(x) \)?
[解答]
\( f(1):f(2):f(3):f(4)=3:4:6:12 \)
\( \matrix{f(0) & & f(1) & & f(2) & & f(3) &  & f(4) \cr
0 & & 3 & & 4 & & 6 & & 12 \cr
& 3 & & 1 & & 2 & & 6 & \cr
& & -2 & & 1 & & 4 & &  \cr
& & & 3 & & 3 & & &  } \)
\( \displaystyle C_0^n \times 0+C_1^n \times 3+C_2^n \times -2+C_3^n \times 3=\frac{1}{2}n^3-\frac{5}{2}n^2+5n \)
但首項係數要為2,同乘4倍得\( 2n^3-10n^2+20n \)

8.
\( \displaystyle S=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{10000}} \),則[S]=?
看完題目請在5秒鐘內把\( 2 (\sqrt{10000}-1)=198 \)填入空格
歷屆試題請見https://math.pro/db/thread-156-1-1.html

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回復 3# bugmens 的帖子

第7題bugmens大的作法(祕招)我參不透(為何可設f(0)=0?), 只好土法煉鋼
我是先設f(1)=3t, f(2)=4t, f(3)=6t, f(4)=12t
作三次差分
3t 4t 6t 12t
 t  2t  6t
  t   4t
   3t
得3t=constant=12 (相當於將f微三次)
=> t=4
再利用牛頓插值法
令f(x)=2(x-1)(x-2)(x-3)+b(x-1)(x-2)+c(x-1)+d
由f(1)=12, f(2)=16, f(3)=24解得b=2, c=4, d=12
=> f(x)=2x^3-10x^2+20x

[ 本帖最後由 Fermat 於 2011-6-3 02:01 PM 編輯 ]

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第2題只算出2,1/2不知如何算出?

第2題只算出2,1/2不知如何算出?

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回復 5# rudin 的帖子

我也只算出2, 看不出為何有1/2

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第四題有人可以提示一下嗎?

第四題有人可以提示一下嗎?謝謝!

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第2題
當A,B兩點逼近短軸下方頂點時,r-->1/2

[ 本帖最後由 chu1976 於 2011-6-4 09:57 AM 編輯 ]

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11.pdf (15.58 KB)

2011-6-4 09:57, 下載次數: 6481

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回復 8# chu1976 的帖子

剛剛算了一下
逼近短軸下方頂點時
r還是2 (其實由對稱性答案應該和上方頂點一樣)
您要不要再check一下?
-----------

100.6.4

謝謝chu1976大的提醒
我知道我的盲點在那裡了
我一直以為a -> 0, 等價於A->C, B->C(也可算是受圖形誤導), 故b->1/2
實際上應該是a -> 0 <=> b -> +-1/2
所以這題答案2或1/2沒錯
昨天還以為答案有誤呢

[ 本帖最後由 Fermat 於 2011-6-4 11:55 AM 編輯 ]

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回復 7# rudin 的帖子

4.
過(s, f(s))的切線為y=f(s)+f'(s)(x-s)
與y=f(x)=x^4+4x^3-16x^2+6x-5在x=s,t 各有兩切點
故x^4+4x^3-16x^2+[6-f'(s)]x-5-f(s)+sf'(s)=[(x-s)(x-t)]^2=x^4-2(s+t)x^3+(s^2+t^2+4st)x^2+... (因s,t分別為兩重根)
比較係數得
s+t=-2, (s+t)^2+2st=-16 => st=-10
=> |t-s|=sqrt[(t+s)^2-4st]=sqrt(44)=2sqrt(11)

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