填充5
如圖，因為對稱於原點，所以EF=GH且AB=CD
所以EF=AB/2
又ABEF共線，所以只要算x坐標或是y坐標就好
\(\displaystyle \frac{k+2}{3}-\frac{k-2}{3}=\frac{k}{2} \times \frac{1}{2} \)
\(\displaystyle k=\frac{16}{3} \)

感謝johncai的提醒

[ 本帖最後由 老王 於 2011-5-30 11:50 PM 編輯 ]

填充12
考慮生成函數
\(\displaystyle x^{18}+3x^{17}+6x^{16}+10x^{15}+15x^{14}+21x^{13}+25x^{12}+27x^{11}+27x^{10}+25x^9+21x^8+15x^7+10x^6+6x^5+3x^4+x^3 \)
要分解成三個較低次數的多項式相乘，
直接猜測有一般的骰子
也就是有\(\displaystyle x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x \)這個因式
實際去試，得到生成函數為
\(\displaystyle (x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x)^3 \)
就確定可以選擇一個為一般的
剩下兩個，就再分解合併就是
\(\displaystyle (x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x)^2=x^2(x+1)^2(x^2+x+1)^2(x^2-x+1)^2 \)
要領是要分成兩組係數和為6的多項式
因為因式裡面有兩個係數和為2，兩個為3
所以各取一個湊在一起成為\(\displaystyle (x+1)(x^2+x+1)=x^3+2x^2+2x+1 \)
而那個x^2是要最後再分給那兩個多項式的
只剩下\(\displaystyle (x^2-x+1)^2 \)要分配
如果拿一個分配給剛剛挑出來的
那麼就會變成一般的骰子，不合題意；
所以就把剩下的通通放在一起，也就是
\(\displaystyle (x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)^2=(x^7+x^5+x^4+x^3+x^2+1) \)
最後各乘上x得到
\(\displaystyle x^4+2x^3+2x^2+x \)
\(\displaystyle x^8+x^6+x^5+x^4+x^3+x \)
所以一顆為1,2,2,3,3,4
一顆為1,3,4,5,6,8
還有1,2,3,4,5,6

[ 本帖最後由 老王 於 2011-5-30 11:10 PM 編輯 ]

第9題
其實以我的錯誤情況，乾脆直接乘開計算

用瑋岳老師以前PO過的方法
令\(\displaystyle f(x)=\sum_{k=3}^{18} (1+x)^k \)
然後考慮
\(\displaystyle (1+x)((1+x)f'(x))' \)的x^3項係數

可是我算到第四次才出現正確答案~~~真困難!!!

您這樣好像不大對
題目是正六邊形在滾，而不是圓在滾
所以應該不是擺線

您早點回嘛!!!!害我畫了半天~~~