填充第 9 題：（有點暴力的解法～一直使用分項對消法～哈！）

因為 \(\displaystyle k^2=(k+2)(k+1)-3(k+1)+1\)

所以，

\(\displaystyle k^2 C^k_3 = k^2\cdot \frac{k(k-1)(k-2)}{3\cdot2\cdot1}\)

　　　\(\displaystyle =\frac{1}{6}(k+2)(k+1)k(k-1)(k-2)-\frac{1}{2}(k+1)k(k-1)(k-2)+\frac{1}{6}k(k-1)(k-2)\)

　　　\(\displaystyle =\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\Big((k+3)(k+2)(k+1)k(k-1)(k-2)-(k+2)(k+1)k(k-1)(k-2)(k-3)\Big)\)

　　　　\(\displaystyle -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}\Big((k+2)(k+1)k(k-1)(k-2)-(k+1)k(k-1)(k-2)(k-3)\Big)\)

　　　　\(\displaystyle +\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{4}\Big((k+1)k(k-1)(k-2)-k(k-1)(k-2)(k-3)\Big)\)



所求 \(\displaystyle =\frac{1}{36}\left(21\cdot20\cdot19\cdot18\cdot17\cdot16-5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1\cdot0\right)\)

　　　　\(\displaystyle -\frac{1}{10}\left(20\cdot19\cdot18\cdot17\cdot16-4\cdot3\cdot2\cdot1\cdot0\right)\)

　　　　\(\displaystyle +\frac{1}{24}\left(19\cdot18\cdot17\cdot16-3\cdot2\cdot1\cdot0\right)\)

　　 \(=903108.\)

第 6 題：

令 \(x'=6-x, y'=7-y,z'=8-z, u'=9-u,\)

則 \(0\leq x'\leq 5, 0\leq y'\leq 6, 0\leq z'\leq 7, 0\leq u'\leq 8,\)

且 \(x'+y'+z'+u'=6+7+8+9-22=8\)

所求 \(=H_8^4-H_2^4-H_1^4-H_0^4=150.\)

　　　（任意 － \(x'\) 爆掉－ \(y'\) 爆掉 － \(z'\) 爆掉）

第 2 題：

\(\displaystyle \cot 2\theta=\frac{0-0}{1}=0\Rightarrow \theta=45^\circ\)

轉軸 \(45^\circ\) 之後，

\(xy=x+y\) 會變為 \(\displaystyle \frac{1}{2}x'^2-\frac{1}{2}y'^2=\left(\frac{\sqrt{2}x'}{2}+\frac{\sqrt{2}y'}{2}\right)+\left(\frac{\sqrt{2}x'}{2}-\frac{\sqrt{2}y'}{2}\right)\)

　　　　　　　\(\displaystyle \Rightarrow \frac{\left(x'-\sqrt{2}\right)^2}{2}-\frac{y'^2}{2}=1\)

　　　　　　　畫出圖形如下：

　　　　　　　

qq.png (12.43 KB)

2014-9-25 18:12

\(x^2+y^2=a\) 經旋轉之後，方程式仍為 \(x'^2+y'^2=a\)

所以，所求即為上述雙曲線之貫軸長的平方＝\(\left(2\sqrt{2}\right)^2=8.\)



註：如果不旋轉，可以經由 \(xy=x+y\Rightarrow (x-1)(y-1)=1\) 看出其為「中心點在 \((1,1)\)，貫軸是 \(x=y\) 直線，通過原點」的等軸雙曲線，

　　再畫圖之後，求 \(x=y\) 直線與 \(xy=x+y\) 的交點，得雙曲線的兩頂點，進而得貫軸長。

填充第 7 題：

1. 由三垂線定理，可知 \(\overline{BC}\perp \overline{PC},\)

　 且因為 \(\angle ACB=90^\circ\)

　 所以 \(\overline{BC}\perp\) 平面 \(PAC\)

　 \(\Rightarrow \overline{DE}\perp\) 平面 \(PAC\)

　 因此，題目所求即為 \(\displaystyle \frac{\overline{DE}}{\overline{AD}}\)

2.　因為 \(\displaystyle \overline{AD}=\frac{\overline{AB}}{\sqrt{2}}\)

　　且 \(\displaystyle \overline{DE}=\frac{\overline{BC}}{2}\)

　　所以 \(\displaystyle\frac{\overline{DE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\sqrt{2}\cdot \overline{AB}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}.\)

填充第 3 題

令 \(\displaystyle I=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\)

　\(\displaystyle J=\left[\begin{array}{ccc}0&2&3\\0&0&2\\0&0&0\end{array}\right]\)

則 \(\displaystyle A=I+J,J^2=\left[\begin{array}{ccc}0&0&4\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right],J^3=[0]_{3\times3}\)

因為 \(I\) 為單位矩陣，所以任意矩陣與 \(I\) 相乘具有交換性，

\(\displaystyle A^n=(I+J)^n=C^n_0I^n+C^n_1 I^{n-1}J+C^n_2 I^{n-2}J^2+\cdots+C^n_nJ^n\)

　　　　　\(\displaystyle =I+nJ+\frac{n(n-1)}{2}\left[\begin{array}{ccc}0&0&4\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right],\forall n\geq2\)

\(\Rightarrow A+A^2+\cdots+A^{20}\) 其中第一列第三行的元素

　　　　　　　　　\(\displaystyle =3\left(1+2+3\cdots+20\right)+4\left(\frac{2\times1}{2}+\frac{3\times2}{2}+\cdots+\frac{20\times19}{2}\right)\)

　　　　　　　　　\(=5950.\)

引用:

原帖由 YAG 於 2011-6-11 07:09 PM 發表
請問老師:
為何不能令 X'=X-1  Y'=Y-1 Z'=Z-1  U'=U-1   得到的X'  Y' Z' U' 的範圍一樣  但是
X'+Y'+Z'+U"=18

可以呀~只是這樣要扣掉的「爆掉的情況」比較多而已，請記得要慢慢討論不要漏扣掉喔！（還有重複扣的還要記得加回來喔！）

請見 thepiano 老師的圖 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2529#p6018

填充第 10 題

\(\displaystyle \left(x\sin\frac{\pi}{7}\right)^7=128\Rightarrow \left|x\right|=\frac{2}{\sin\frac{\pi}{7}}\)

\(\displaystyle \omega_0,\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_6\) 等同於位在以原點為圓心，

以 \(\displaystyle \frac{2}{\sin\frac{\pi}{7}}\) 為半徑的圓周上的七等分點，

令此七點依序為 \(A,B,C,D,E,F,G\)



由托勒蜜定理，可知 \(\displaystyle \overline{AC}\cdot\overline{BD}=\overline{AD}\cdot \overline{BC}+\overline{AB}\cdot \overline{CD}\)

　　　　　　　　　\(\displaystyle \Rightarrow \overline{AC}^2=\overline{AD}\cdot \overline{AB}+\overline{AB}^2\)

　　　　　　　　　\(\displaystyle \Rightarrow \overline{AC}^2-\overline{AD}\cdot \overline{AB}=\overline{AB}^2\)

而所求 \(\displaystyle =2 \overline{AC}^2-2\overline{AD}\cdot \overline{AB}=2\overline{AB}^2=2\cdot 4^2=32\)

註：

　　

引用:

原帖由 cherryhung 於 2011-7-22 11:23 PM 發表
請問老師
為何這樣不對?
x'=x-1, y'=y-1, z'=z-1, u'=u-1
x'+y'+z'+u'=18
H(4,18)-H(4,12)-H(4,11)-H(4,10)-H(4,9)=5

因為 x', y', z', u' 可能會有某兩者同時爆掉的情況，

上面的做法會重複扣了，要加回來呀，

而且如果遇到三者同時爆掉的情況，

重複加了，又要記得扣回來呀！

是滴，圖沒標記好，

已修正，感謝您的提醒。：）