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100豐原高中

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請教一下1,5,6三題的想法?

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請問類似第一題的內切球問題

之前有看過板上的討論

邊長a的正四面體內切若干個(忘了題目)相同大小的球,求球半徑?

請問有大大記得是哪校考題嗎

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內切球~~97台中二中有考~~

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請問第1,5,6有大大可以指點一下嗎  謝謝

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第 6 題:

設拋物線方程式為 \(y=ax^2+bx+c\)

拋物線通過 \((-1,-1), (2,2)\)  帶入,

可得 \(-1=a-b+c, 2=4a+2b+c\)

\(\Rightarrow b=1-a, c=-2a\)

「拋物線與 \(x\) 軸所截長度」的平方 \(\displaystyle = \left(-\frac{b}{a}\right)^2-4\left(\frac{c}{a}\right)\)

                 \(\displaystyle = \left(1-\frac{1}{a}\right)^2 +8\)

                 \(\geq 8\)

當 \(a=1\) 時,拋物線與 \(x\) 軸所截長度有最小值為 \(2\sqrt{2}\)

且此時 \(b=0,c=-2\),拋物線方程式為 \(y=x^2-2\)

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第 5 題:

設 \(\Gamma\) 上的動點 \(\displaystyle P(t,t^2-\frac{1}{2})\)

則過 \(P\) 點的法線方程式為

      \(\displaystyle y-\left(t^2-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2t}\left(x-t\right)\)

通過 \((a,3)\) 帶入,可得 \(t\) 的一元三次方程式 \(2t^3-6t-a=0\)

依題意此 \(t\) 的一元三次方程式應該有三實根,

令 \(f(t)=2t^3-6t-a\)

則 \(f'(t)=0\Rightarrow t=\pm 1\)

因為 \(f(t)=0\) 有三實根,

所以




\(\Rightarrow f(-1)>0\) 且 \(f(1)<0\)

\(\Rightarrow -4<a<4.\)

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第 1 題:

設球半徑為 \(r\)

則 \(r\cdot\sqrt{3} + 4r+r\cdot\sqrt{3}=10\cdot\sqrt{3}\)

\(\displaystyle\Rightarrow r=10\sqrt{3}-15.\)




((我不太會畫立體圖,所以我用文字說明好了!))

設上面四顆球為 \(A,B,C,D\),

 對應下面的四顆球為 \(E,F,G,H\),

 最中間球為 \(I\),

則因為 \(A,I,G\) 的球心與此正立方體對角線上的頂點會共線,

 且 \(A\) 的球心到它最接近的正立方體頂點的距離=\(G\) 的球心到它最接近的正立方體頂點的距離=\(r\sqrt{3}\),

  以及 \(\overline{AG}=4r\),

 所以此正立方體的對角線長為 \(r\cdot\sqrt{3} + 4r+r\cdot\sqrt{3}.\)



註:如果以上想法有錯誤的地方,希望高手可以不吝告知,感謝!

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回復 17# weiye 的帖子


真的不好畫耶...
我用Cabri 3D
不知道畫得對不對,不過我很確定很多步驟是多餘的...
Cabri 3D 外行的…  囧

[ 本帖最後由 wbyeombd 於 2011-6-9 12:10 PM 編輯 ]

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1.一個邊長10cm的正立方體內塞九個大小相同的球,中心球的球心在正立方體的中心,其他球皆與三個相鄰面以及中心球相切,求球的半徑?

9個相同的球被包裝在一個邊長為1的正立方體內,其中一個球的球心位於正立方體的中心點上,而其他的球均與中心球相切且與正立方體的三各面相切,則每一個球的半徑為  單位長。
(A)\( \displaystyle 1-\frac{\sqrt{3}}{2} \) (B) \( \displaystyle \frac{2 \sqrt{3}-3}{2} \) (B) \( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6} \) (D) \( \displaystyle \frac{1}{4} \) (E) \( \displaystyle \frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{4} \)
(97全國高中聯招)

101.10.16補充
將一個半徑為5公分的鐵球,放入一個邊長10公分的正方體容器,再放入另一個小鉛球,然後蓋上正方體容器的蓋子,使蓋子與正方體完全密合,則這個鉛球的最大半徑為  公分
(100高中數學能力競賽 第一區筆試(二)試題,https://math.pro/db/thread-1349-1-1.html)

附件

100豐原高中.png (39.8 KB)

2011-6-10 18:42

100豐原高中.png

9個球面彼此相切.rar (62.58 KB)

2011-6-10 18:42, 下載次數: 4112

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回復 15# weiye 的帖子

請問一下老師式子中所說的拋物線與 \(x\) 軸所截長度的平方
為何不是(b^2-4ac)/(4a)?
我的a跟老師一樣都是等於1,
但拋物線與 x 軸所截長度最小值算出來卻是根號2。

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