第 8 題：

設此 27 個單位立方體由原點往第一卦限開始堆疊，以組成體積為 \(27\) 的大正立方體，

則垂直且平分由 \((0,0,0)\) 連至 \((3,3,3)\) 的對角線線段之平面為 \(\displaystyle x+y+z-\frac{9}{2}=0\)

這 27 個小正立方體的頂點中，最靠近原點的那 27 個頂點分別是 \((i,j,k)\)，其中 \(0\leq i,j,k\leq 2\) 且 \(i,j,k\) 為整數，

這 27 個小正立方體的頂點中，最遠離原點的那 27 個頂點分別是 \((i+1,j+1,k+1)\)，其中 \(0\leq i,j,k\leq 2\) 且 \(i,j,k\) 為整數，

若平面 \(\displaystyle x+y+z-\frac{9}{2}=0\) 與「最靠近原點的那個頂點坐標為 \((i,j,k)\) 的單位正立方體」有相交，

則必滿足 \(\displaystyle i+j+k-\frac{9}{2}<0\) 且 \(\displaystyle (i+1)+(j+1)+(k+1)-\frac{9}{2}>0\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{3}{2}<i+j+k<\frac{9}{2}\)

其中 \(0\leq i,j,k\leq 2\) 且 \(i,j,k\) 為整數，

若 \(i+j+k = 2\)，\(2=2+0+0\) (三組)\(= 1+1+0\) (三組)

若 \(i+j+k= 3\)，\(3= 2+1+0\) (六組)\(= 1+1+1\)(一組)

若 \(i+j+k = 4\)，\(4 = 2+2+0\) (三組)\(= 2+1+1\)(三組)


共 \(19\) 個 。



註：剛剛才算，因為沒有答案可以比對，如有漏列，煩請不吝告知，感謝。

感謝您的提醒，馬上修改。 ^__^

你把已知條件給的橢圓先平移、後旋轉，

卻忘了把題目要求的 \(x^2+y^2\) 經過先平移成 \((x-1)^2+(y-1)^2\) 之後，

其中心點變成〝非原點〞，

所以旋轉也會改變位置，

變成求 \(\displaystyle\left(x+\sqrt{2}\right)^2+y^2\) 的最大值與最小值 。




已知 \(\displaystyle \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{24}=1\)，

求 \(\displaystyle\left(x+\sqrt{2}\right)^2+y^2\) 的最大值與最小值。

剩下就～～～ \(\displaystyle \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{24}=1\Rightarrow y^2=24-3x^2\)

將其帶入 \(\displaystyle\left(x+\sqrt{2}\right)^2+y^2\)，

再配方成 \(\displaystyle -2\left(x-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+27\) 後，即可得最大值 \(27\) 與最小值 \(2\)

（注意 \(x\) 範圍：\(-2\sqrt{2}\leq x\leq2\sqrt{2}\)）。

第 11 題：

\(\log_4\left(x+2y\right)+\log_4\left(x+2y\right)=1\)

\(\Rightarrow x^2-4y^2=4\) 且 且 \(x+2y>0,x-2y>0\)

滿足上述條件的圖形是右葉的雙曲線

　　　

qq.png (13.46 KB)

2012-4-16 09:12

所求 \(|x|-|y|\) 不失一般性可假設 \(x\geq0, y\geq0\)，

則 \(|x|-|y|=x-y\) 欲求最小值，且 限制條件為雙曲線 \(x^2-4y^2=4\) 在第一象限部分

令 \(x-y=k\Rightarrow y=x-k\)

而 \(x^2-4y^2=4\) 的斜率為 \(1\) 的切線為 \(y=1\cdot x\pm\sqrt{4\cdot1^2-1}\Rightarrow y=x\pm\sqrt{3}\)

其中與雙曲線於於第一象限相切的切線為 \(y=x-\sqrt{3}\Rightarrow x-y=\sqrt{3}\)

可得所求之最小值為 \(\sqrt{3}.\)

你沒有錯，是我筆誤把 \(\displaystyle\left(x+\sqrt{2}\right)^2+y^2\)  打成  \(\displaystyle\left(x-\sqrt{2}\right)^2+y^2\) 了，

看後面配方還原回去就可以知道我打錯正負號了。立馬修正，感謝。

第 12 題（第七次合作杯數學有獎徵答所提供的參考解答的方法）

令 \(x+y=u, xy=v\)，則

\(x^2+xy+y^2=3x+3y+9\Rightarrow \left(x+y\right)^2-xy=3\left(x+y\right)+9\)

\(\Rightarrow u^2-v=3u+9\Rightarrow v=u^2-3u-9\)

所求＝\(x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy=u^2-2v=u^2-2\left(u^2-3u-9\right)\)

　　　　　　　 \(=-u^2+6u+18=-\left(u-3\right)^2+27\)

因為 \(x,y\) 為方程式 \(t^2-ut+v=0\) 的實根

所以判別式 \(D=u^2-4v\geq0\)

再將 \(v=u^2-3u-9\) 帶入上式，

可得 \(u^2-4\left(u^2-3u-9\right)\geq0\Rightarrow u^2-4u-12\leq0\)

\(\Rightarrow \left(u+2\right)\left(u-6\right)\leq0\Rightarrow -2\leq u\leq6\)

由 所求 \(x^2+y^2=-\left(u-3\right)^2+27\) 搭配 \(u\) 的範圍 \(-2\leq u\leq6\)

（畫出頂點在 \((3,27)\) 且開口向下拋物線的圖形）

可得當 \(u=3\) 的時候，\(x^2+y^2\) 有最大值為 \(27\)；

　　當 \(u=-2\) 的時候，\(x^2+y^2\) 有最小值為 \(2\)。

填充7
考慮一個正四面體與其內切球與外接球。今在正四面體之四個面，均有一個最大球與其相切也和外接球相切(此球在正四面體外部)。若在外接球的內部任取一個點\(P\)，則\(P\)不落在內切球內部也不落在正四面體外圍的四個球內之機率為何？
[解答]
（幫朋友解完順便ＰＯ上來～）

111.1.15補充
已知一正四面體有一個外接球與一個內切球，今知在四面體中之四個面，均有一個最大的球(在正四面體外)與其相切且與外接球也相切，若在外接球內任選一點\(P\)，則\(P\)落在內切球或正四面體外圍的四個球內之機率的近似值為　　　　。
(A) 0　(B) 0.1　(C) 0.2　(D) 0.3　(E) 0.4
(1999ASHME，https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_29)

2014-02-13 15.15.25.jpg (198.47 KB)

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