填充第 3 題

如下圖，畫出以 \(\overline{AB}\) 為一弦且圓心角為 \(120^\circ\) （圓周角為 \(60^\circ\)）的圓

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2014-5-21 20:40

則兩圓內部區域及邊界上的點，即為滿足題意之 \(P\) 點所在位置，

所求面積 \(\displaystyle=\left(\pi\cdot\left(\frac{4}{\sqrt{3}}\right)^2\cdot\frac{240^\circ}{360^\circ}\right)\cdot2+\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{\sqrt{3}}\cdot\frac{4}{\sqrt{3}}\sin120^\circ\right)\cdot2\)

　　　　　\(\displaystyle=\frac{64\pi}{9}+\frac{8\sqrt{3}}{3}.\)

填充第 8 題

題目所給兩函數的圖形皆對稱於 \(y\) 軸，

所以此兩函數的圖形交點 \(A,B\) 亦對稱於 \(y\) 軸，

因為 \(\overline{AB}=4\)，所以 \(A,B\) 兩點的 \(x\) 坐標為 \(2\) 與 \(-2,\)

且 \(A,B\) 兩點的 \(y\) 坐標皆為 \(\log_2(11\cdot 2^2+2004)=\log_2 2^{11}=11\)

將 \((2,11)\) 帶入 \(y=3^{x^2+a}-16\) 可得 \(a=-1.\)

填充第 5 題 or 計算第 5 題呢？

填充第 5 題

令 \(\angle BAD=\theta\)，則 \(\triangle DAC =2\theta\)

由 \(\triangle BAD+\triangle DAC=\triangle BAC\)，

可得 \(\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 3 \cdot 2 \cdot\sin\theta+\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 6\cdot\sin 2\theta=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 6\cdot \sin 3\theta\)

　　\(\displaystyle \Rightarrow 3\sin\theta+12\sin\theta\cos\theta=9\left(3\sin\theta-4\sin^3\theta\right)\)

顯然 \(\sin\theta\) 不為零，

所以 \(\displaystyle 3+12\cos\theta=9\left(3-4\left(1-\cos^2\theta\right)\right)\)

解 \(\cos\theta\) 的一元二次方程式，可得 \(\displaystyle \cos\theta=\frac{1\pm\sqrt{13}}{6}\)

其中，因為 \(\displaystyle \theta+2\theta<180^\circ\Rightarrow \theta\) 為銳角，

所以 \(\displaystyle \cos\theta=\frac{1+\sqrt{13}}{6}\)

在 \(\triangle BAD\) 中，由餘弦定理，可得

　　\(\displaystyle \overline{BD}^2=3^2+2^2-2\cdot2\cdot3\cdot\frac{1+\sqrt{13}}{6}=11-2\sqrt{13}\)

　　\(\displaystyle \overline{BD}=\sqrt{11-2\sqrt{13}}.\)

填充第 1 題

因為 \(I\) 為內心，

所以，向量 \(\displaystyle \vec{AI}=\frac{b}{a+b+c}\vec{AB}+\frac{c}{a+b+c}\vec{AC}=\frac{6}{18}\vec{AB}+\frac{5}{18}\vec{AC}\)

令向量 \(\displaystyle \vec{AP}=m\vec{AB}, \vec{AQ}=n\vec{AC}\)

則 \(\displaystyle \vec{AI}=\frac{6}{18}\cdot\frac{1}{m} \vec{AP}+\frac{5}{18}\cdot\frac{1}{n}\vec{AQ}\)

因為 \(I,P,Q\) 共線，所以 \(\displaystyle \frac{1}{3m}+\frac{5}{18n}=1\)

依題意，即要求 \(mn\) 之最小值，

由算幾不等式，可得

　　\(\displaystyle \frac{\frac{1}{3m}+\frac{5}{18n}}{2}\geq\sqrt{\frac{1}{3m}\cdot\frac{1}{18n}}\)

　　\(\displaystyle \Rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^2\geq\frac{5}{54mn}\)

　　\(\displaystyle \Rightarrow mn\geq\frac{10}{27}.\)

計算第 2 題：詳見 https://math.pro/db/thread-457-1-1.html

計算第 3 題：詳見 https://math.pro/db/thread-499-1-1.html

直接用判別式可能會忽略掉的地方是～忘掉確認是否有滿足條件 \(-1\leq \sin x\leq 1\)。



填充第 2 題：

令 \(t=\sin x\)，則 \(-1\leq t\leq1,\)

\(\displaystyle y=\frac{t^2+t+1}{\left(1-t^2\right)-t-3}=-\frac{t^2+t+1}{t^2+t+2}=-1+\frac{1}{\left(t+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}}\)

因為  \(-1\leq t\leq1\)，

所以 \(\displaystyle -\frac{1}{2}\leq t+\frac{1}{2}\leq\frac{3}{2}\)

　　 \(\displaystyle \Rightarrow 0\leq \left(t+\frac{1}{2}\right)^2\leq\frac{9}{4}\)

　　 \(\displaystyle \Rightarrow \frac{7}{4}\leq \left(t+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\leq4\)

　　 \(\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{4}\leq \frac{1}{\left(t+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\leq\frac{4}{7}\)

　　 \(\displaystyle \Rightarrow \frac{-3}{4}\leq -1+\frac{1}{\left(t+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\leq\frac{-3}{7}\)

故，\(\displaystyle M=\frac{-3}{7}, m=\frac{-3}{4}\)

　　\(\displaystyle \Rightarrow 2M+m=\frac{-45}{28}.\)

計算第 5 題：
三平面\(E_1\)：\(a_1x+b_1y+c_1z=d_1\)、\(E_2\)：\(a_2x+b_2y+c_2z=d_2\)、\(E_3\)：\(a_3x+b_3y+c_3z=d_3\)在空間中形成兩兩平面交於一線，且此三線平行，
試證明：\(\Delta=\left| \matrix{a_1&b_1&c_1\cr a_2&b_2&c_2\cr a_3&b_3&c_3}\right|=0\)，且\(\Delta_x=\left| \matrix{d_1&b_1&c_1\cr d_2&b_2&c_2\cr d_3&b_3&c_3}\right|\)、\(\Delta_y=\left| \matrix{a_1&d_1&c_1\cr a_2&d_2&c_2\cr a_3&d_3&c_3}\right|\)、\(\Delta_z=\left| \matrix{a_1&b_1&d_1\cr a_2&b_2&d_2\cr a_3&b_3&d_3}\right|\)三者至少有一個不是0。
[解答]
通常教師手冊都會有詳細的證明，但大多步驟有點長，

之前在龍騰的《數學新天地》有看到過一篇北一女蘇俊鴻老師的《用向量來看平面族定理》

h ttp://www.lungteng.com.tw/LungTengNet/HtmlMemberArea/publish/Newpaper/013/math/N7202-ebook(p26~35).pdf　連結已失效

當中頁碼第 34 頁（該頁左下角的段落）有個超簡潔的證明。

111.4.10補充
上傳 用向量來看平面族定理.pdf

111.7.12補充
設\(E_1\)：\(a_1x+b_1y+c_1z=d_1\)、\(E_2\)：\(a_2x+b_2y+c_2z=d_2\)、\(E_3\)：\(a_3x+b_3y+c_3z=d_3\)為空間中三平面，令
\(\Delta=\left| \matrix{a_1&b_1&c_1\cr a_2&b_2&c_2\cr a_3&b_3&c_3}\right|=0\)，\(\Delta_x=\left| \matrix{d_1&b_1&c_1\cr d_2&b_2&c_2\cr d_3&b_3&c_3}\right|\)、\(\Delta_y=\left| \matrix{a_1&d_1&c_1\cr a_2&d_2&c_2\cr a_3&d_3&c_3}\right|\)、\(\Delta_z=\left| \matrix{a_1&b_1&d_1\cr a_2&b_2&d_2\cr a_3&b_3&d_3}\right|\)，
試證：若此三平面相異且相交於一直線，則\(\Delta=\Delta_x=\Delta_y=\Delta_z=0\)
(97松山家商，https://math.pro/db/thread-649-1-1.html)

若線性方程組\(L\)：\(\cases{a_1 x+b_1 y+c_1 z=d_1 \cr a_2 x+b_2 y+c_2 z=d_2 \cr a_3 x+b_3 y+c_3 z=d_3}\)在坐標空間中代表三個平面，兩兩相交於一線，且三交線兩兩互相平行，
試證明：\(\Delta_x=\left| \matrix{d_1&b_1&c_1\cr d_2&b_2&c_2\cr d_3&b_3&c_3}\right|\)、\(\Delta_y=\left| \matrix{a_1&d_1&c_1\cr a_2&d_2&c_2\cr a_3&d_3&c_3}\right|\)、\(\Delta_z=\left| \matrix{a_1&b_1&d_1\cr a_2&b_2&d_2\cr a_3&b_3&d_3}\right|\)不全為0。
(111屏東高中，https://math.pro/db/thread-3663-1-1.html)

前人解過，計算題第 1, 4, 6 題：http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2525



我也動手來解一遍~

計算第 6 題：

為了方便計算，小弟把題目修改一下～

把整個拋物線 \(y=x^2-1\) 與點 \((1,2)\) 都上移一單位，

得拋物線 \(y=x^2\) 與點 \(P(1,3)\)

設通過 \(P\) 的直線 \(L\) 會交拋物線 \(y=x^2\) 於 \(A(a,a^2)\) 與 \(B(b,b^2)\)，其中 \(b>a\)，

因為 \(A,P,B\) 三點共線，所以 \(\displaystyle\frac{a^2-3}{a-1}=\frac{b^2-3}{b-1}\Rightarrow \left(b-a\right)\left(ab-a-b+3\right)=0\)

且因為 \(b>a\)，所以 \(ab-a-b+3=0\Rightarrow ab = a+b-3\)

則 \(L\) 與拋物線所圍面積＝\(\displaystyle\frac{1}{2}\cdot \left(a^2+b^2\right)\left(b-a\right)-\int_a^b x^2 dx\)

　　　　　　　　　　　　\(=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot \left(a^2+b^2\right)\left(b-a\right)-\frac{b^3-a^3}{3}\)

　　　　　　　　　　　　\(=\displaystyle\frac{1}{6}\cdot \left(b-a\right)^3\)

　　　　　　　　　　　　\(=\displaystyle\frac{1}{6}\cdot \left(\sqrt{\left(a+b\right)^2-4ab}\right)^3\)

　　　　　　　　　　　　\(=\displaystyle\frac{1}{6}\cdot \left(\sqrt{\left(a+b\right)^2-4(a+b-3)}\right)^3\)

　　　　　　　　　　　　\(=\displaystyle\frac{1}{6}\cdot \left(\sqrt{\left(a+b-2\right)^2+8}\right)^3\)

　　　　　　　　　　　　\(\geq\displaystyle\frac{1}{6}\cdot \left(\sqrt{8}\right)^3=\frac{8\sqrt{2}}{3}\)

此時，\(a+b=2\Rightarrow ab=-1\) 且由 \(b>a\)，可解得 \(a=1-\sqrt{2}, b=1+\sqrt{2}\)


註： 延伸閱讀～　h ttp://activity.ntsec.gov.tw/activity/race-1/51/pdf/040414.pdf連結已失效

填充第 6 題
設\(A(1,1,0),B(2,1,-1),C(3,2,-2)\)，則\(\Delta ABC\)的垂心座標為。
[解答]
照定義做就可以了，

由（1）向量 AH內積向量 BC=0  且 （2）向量 BH內積向量 AC=0 且 （3）H 在 ΔABC 所在平面上  

即可得 H 的點坐標。

112.7.1補充
設\(A(0,1,2)\)，\(B(-1,2,1)\)，\(C(1,0,1)\)為空間中的三點，則\(\Delta ABC\)的垂心坐標為　　　。
(112屏東高中，https://math.pro/db/thread-3766-1-1.html)