填充 3
前面已有人解出 我補充一下參考資料

(1)
\( \displaystyle f(x)= \Large\sum_{t=1}^{n}  (x-d_t)^2  \)
f(x)的最小值出現在 x= \( d_1 , d_2 , ... , d_n  \) 的算術平均時
註:展開配方可得

(2)
\( \displaystyle g(x)= \Large\sum_{t=1}^{n}  \Bigg| x-d_t \Bigg|  \)
g(x)的最小值出現在 x= \( d_1 , d_2 , ... , d_n  \) 的中位數時
註:函數圖形 為左右高 中間低 的折線圖

因此本題(填充3)

f(x)的最小值出現在 \( x= \frac{1+2+...+11}{11} =6 \)

若 n=6 則 g(x)最小值
出現在 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6(共21項) 的中位數(第11項)時
亦即 x=5 時

若 n=7 則 g(x)最小值
出現在 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,7(共28項) 的中位數(第14.5項) 時
亦即 x=5 時

若 n=8 則 g(x)最小值
出現在 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8(共36項) 的中位數(第18.5項) 時
亦即 x=6 時

若 n=9 則 g(x)最小值
出現在 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9,9,9,9,9,9(共45項) 的中位數(第23項) 時
亦即 x=7 時

故知 答案為 n=8

\( d_1 =1 \)
\( d_2=d_3 =2 \)
\( d_4=d_5=d_6 =3 \)
\( d_7=...=d_{10}=4 \)
\( d_{11}=...=d_{15}=5 \)
\( d_{16}=...=d_{21}=6 \)

\( \Bigg| x-d_1 \Bigg|   +  \Bigg| x-d_{21} \Bigg| \geq \Bigg| d_{21} -d_1 \Bigg|   \)   , 等號成立於 \( d_1 \leq x \leq d_{21} \)
\( \Bigg| x-d_2 \Bigg|   +  \Bigg| x-d_{20} \Bigg| \geq \Bigg| d_{20} -d_2 \Bigg|   \)   , 等號成立於 \( d_2 \leq x \leq d_{20} \)
...
\( \Bigg| x-d_{10} \Bigg|   +  \Bigg| x-d_{11} \Bigg| \geq \Bigg| d_{11} -d_{10} \Bigg|   \)   , 等號成立於 \( d_{10} \leq x \leq d_{11} \)


x若為中位數,
可滿足上述不等式的所有等號成立條件

整理成性質(26#)
\( \displaystyle g(x)= \Large\sum_{t=1}^{n}  \Bigg| x-d_t \Bigg|  \)
g(x)的最小值出現在 x= \( d_1 , d_2 , ... , d_n  \) 的中位數時