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100彰化女中

回復 12# loui315 的帖子

11題
四邊形\(ABCD\)為圓內四邊形,\(\overline{AC}\)為直徑且\(\overline{AC}=2\),又\(\displaystyle \vec{AC}=\frac{3}{2}\vec{AB}+\frac{5}{2}\vec{AD}\),\(\overline{AC}\)與\(\overline{BD}\)相交於\(E\)點,則\(\overline{BD}\)長度為   
[解答]
假設\(\displaystyle \vec{AE}=k\vec{AC}=\frac{3k}{2}\vec{AB}+\frac{5k}{2}\vec{AD} \)
\(\displaystyle \frac{3k}{2}+\frac{5k}{2}=1 \)
\(\displaystyle k=\frac{1}{4} \)
所以\(\displaystyle AE=\frac{1}{2} \)
以及\(\displaystyle \vec{AE}=\frac{3}{8}\vec{AB}+\frac{5}{8}\vec{AD} \)
那就知道\(\displaystyle BE : DE=5:3 \)
設為\(\displaystyle BE=5t,DE=3t \)
由圓冪定理\(\displaystyle AE \times EC=BE \times ED \)
解出\(\displaystyle t=\frac{1}{\sqrt{20}} \)
那麼\(\displaystyle BD=8t=\frac{4\sqrt{5}}{5} \)
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回復 12# loui315 的帖子

18題
設雙曲線\(\displaystyle x^2-\frac{y^2}{3}=1\)的右頂點為\(A\),右焦點為\(F\),過點\(F\)平行於雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交於\(B\)點,則\(\Delta AFB\)的外接圓半徑長為   
[解答]
\(A(1,0)\),\(F(2,0)\)
計算B
選一條漸近線就好(因為對稱),選斜率為\(\displaystyle \sqrt3 \)
直線\(\displaystyle y=\sqrt3(x-2) \)代入雙曲線求交點得到
\(\displaystyle B(\frac{5}{4},-\frac{3\sqrt3}{4}) \)
\(\displaystyle AB=\frac{\sqrt7}{2} \)
\(\displaystyle \angle{AFB}=60^o \)
\(\displaystyle 2R=\frac{AB}{\sin60^o}=\frac{\sqrt{21}}{3} \)
\(\displaystyle R=\frac{\sqrt{21}}{6} \)
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回復 16# milkie1013 的帖子

填充一3
求\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}(\sqrt{x^2-x+1}-x)=\)   
[提示]
前後都趨近正無限大

填充二3
袋中有55個顏色及大小均相同的球,僅編號不同,分別是1號球1個,2號球2個,3號球3個,…,10號球10個,今自袋中任取4球,則取出的情形有   種。
[解答]
只看取出情況,意即只看取到的號碼狀況,分成
4:C(7,1)=7
3+1:C(8,1)*C(9,1)=72
2+2:C(9,2)=36
2+1+1:C(9,1)*C(9,2)=324
1+1+1+1:C(10,4)=210
全部相加得到649

填充二6
\(n\)為自然數,已知\(1\le n \le 2011\),若\(a_n=log_9 n\)為有理數,則所有\(a_n\)的總和為   
[解答]
\(\displaystyle a_n=\log_9 n=\frac{1}{2}\log_3 n \)
所以n要為3的指數,有1,3,9,27,81,243,729
總和為\(\displaystyle \frac{1}{2}(1+2+3+4+5+6)=\frac{21}{2} \)
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回復 18# milkie1013 的帖子

填充一3
求\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}(\sqrt{x^2-x+1}-x)=\)   
[提示]
如果用反有理化,問題出在同除以x的時候,
因為x是負值,所以拿到根號裡面時,外面要留一個負號,這樣分母就是0了。

填充二2
對實數\(a\)和\(b\),定義\(a*b=a^b+b^a\)。如果實數\(x\)滿足\(2*x=2011\),則\([\;x]\;\)的值為   
(其中\([\;x]\;\)不大於\(x\)的最大整數)
[解答]
意思就是要解2^x+x^2=2011
分成x>0和x<0來看
在x>0,2^x和x^2都嚴格遞增,所以只有一解,然後就代數字
x=10,2^10+10^2<2011
x=11,2^11+11^2>2011
所以這邊的解的高斯值為10
當x<0,0<2^x<1,所以不大需要去管他
(-44)^2=1936,(-45)^2=2025
所以解介於-44,-45之間,所以高斯值為-45
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