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為何兩硬幣要視為不同的兩硬幣?

在下不才,也來試試,我實在不明白相同物為何要改用相異物觀點。

以簡單例子來說:將2白球分給甲乙兩人,恰一人沒有拿到球的機率。
以相同物觀點是:樣本空間 (甲,乙)=(2,0)、(1,1)、(0,2),故所求機率為 2/3。
以farewell324的觀點,上述樣本空間中(1,1)含有兩種情況:
若將球編號為白1白2,則可分成(白1,白2)、(白2、白1)
另外兩個(2,0)、(0,2)則不可再分,
所以樣本空間應為: (甲,乙)=(白1白2,0)、(白1,白2)、(白2,白1)、(0,白1白2),所求機率為2/4。

以上兩個樣本空間,在各自的討論範圍(相同物或相異物)中,都是正確的。

在相同物中,若硬是要將球編號,則哪顆球先分出去是不同的情況,
所以樣本空間應為: (甲,乙)=(白1白2,0)、(白2白1,0)、(白1,白2)、(白2,白1)、(0,白1白2)、(0,白2白1)
所求機率為4/6=2/3是一樣的。

這時一定會問,那若是相異物該如何,例如1紅1黃球分給甲乙兩人,恰一人沒有拿到球的機率,
樣本空間為(紅黃,0)、(黃紅,0)、(先拿紅,後拿黃)、(後拿紅,先拿黃)、(先拿黃,後拿紅)、(後拿黃,先拿紅)、
(0,紅黃)、(0,黃紅)
所求機率為4/8=2/4,與前述相異物分球機率一樣。

因此,在這問題:將10個相同的球分給甲乙兩人,甲獨得10球的機率是多少?
(10,0)可分成 10! 種不同情況
(9,1)也可分成 10! 種不同情況
所以機率仍是1/11無誤。

以上只是自己觀點,試著回答看看而已。

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回復 13# farewell324 的帖子

我還是不明白為何相同物問題要改用相異物觀點,明明結果不一樣。

您有說到「將球編號,則哪顆球先分出去是不同的情況,這是明顯的不合理。如果每個球是公平的分配,那麼哪顆先分怎麼可能會有差異呢?」
我也認為多此一舉,就像原問題是說相同球,甲乙各拿一球就是一種情況,怎麼還要分成兩種呢?
球是公平的分配,那麼甲乙拿哪顆白球怎麼可能會有差異呢?
因此,將相同球編號以相異物觀點討論,本就是不合理的事。

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回復 13# farewell324 的帖子

我之前的舉例真的不太好,那改用這樣的觀點看看:

在講重複組合時會以隔板與相同球來說明,
2相同球分給甲乙兩人,所以要一隔板與兩相同球,
將兩球放好,隔板放下去,左邊的給甲,右邊的給乙,
而隔板只能放在兩球左側、中間、右側,這機會都是1/3,
應該不會說放到中間的機會比較大吧,
所以有一人沒有球機率是2/3。

就算是將球編了號,將球放好會有兩種情況:白1白2 或 白2白1
隔板放下去共有6種情況,各個機會也都一樣,有一人沒有球佔其中4種,
機率是4/6。這也呼應了我之前寫的樣本空間。

[ 本帖最後由 andydison 於 2014-5-29 02:09 PM 編輯 ]

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