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為何兩硬幣要視為不同的兩硬幣?

分相同物品的機率問題

先前在國中教甄,99年南區遇到一個機率問題:

36.(B)   將5個相同的球分給三個小朋友,則其中有一個小朋友沒有分到球的機率是多少?
          (A)2/7  (B)4/7  (C)5/21  (D)7/21

 在友板與人討論,有兩種不同的說法,想向大家請教一下哪一種才是正確的想法:
 (a)  把相同的球編號視為相異物,則所有的可能有3^5=243種
   一個小朋友沒有拿到球:球全部分給另外兩個小朋友 3*(2^5-2)=90
          因此機率為90/243=10/27  .....沒有正確答案

 (b)  這題根本不需要將球編號,一看就要用重複組合方式
          假設第一位得x顆,第二位得y顆,第三位得z顆,x+y+z=5
          S:樣本空間,A:其中有一個人沒有得到球的事件
          n(S)=H(3,5)=C(7,5)=7*6/2=21
          n(A)=C(3,1)*[H(2,5)-2]=3*[C(6,5)-2]=3*4=12
          (先選沒得到球的人,剩下兩人分5球,要扣掉(0,5) ,(5,0) 情況)
          所求p(A)=n(A)/n(S)=12/21=4/7
          A包含在S內,並沒有矛盾,答案也沒有錯~
     您將球編號去分組作,基本上方向就錯了~      此想法由Ellipse老師提供,原文轉述,一開始沒有標註是我的疏忽,非常抱歉!

兩個說法在友版有非常激烈的爭論,這裡討論的人比較多,想知道更多人的想法,謝謝!

[ 本帖最後由 farewell324 於 2014-5-23 06:50 PM 編輯 ]

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簡化問題

討論中有個簡化的問題一樣引出不同的意見:

將10個相同的球分給甲乙兩人,甲獨得10球的機率是多少?

(a) 使用相異物的觀點,答案會是1/1024
(b) 使用重複組合的觀點,樣本空間裡就11個元素:S={(10,0)、(9,1)、......、(0,10)}
     因此答案是1/11  

哪一種正確呢?

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回復 3# Ellipse 的帖子

在友版的確是我與Ellipse老師的想法相左。
我在原文中的確完全複製了Ellipse老師的回應過來
因為深怕在轉述中與Ellipse老師的原意有所落差,我也並未將此想法占為己有
如果您認為被冒犯了,我願意重發一篇文章再請益
把您在別處自己產生的情緒帶到這裡影響大家的討論,這是何必呢?

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回復 5# smartdan 的帖子

真的非常謝謝您的回覆!
只是若是如此,
同時投擲3個相同的硬幣,出現2正1反的機率,不就會變成1/4了嗎?

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回復 7# smartdan 的帖子

每一個硬幣都相同,會出現正反不同的情形
每一顆球都相同,是否也有分給甲、或是不分給甲的兩種情形呢?

想像一個情景:
把一顆球從上方丟下來,底下有兩個籃子標示甲、乙,假設落入兩個籃子的機率相同
那麼分球跟硬幣不是一模一樣的題目嗎?

[ 本帖最後由 farewell324 於 2014-5-24 04:46 PM 編輯 ]

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回復 9# smartdan 的帖子

我不能理解怎麼球會變還是硬幣會變.....不是很懂您的意思

就情境想,球在兩個籃子上彈來彈去的時候就是在變,
當落入甲籃子的時候就確定在甲籃子了,不會突然變成在乙籃子裡吧?

同理,硬幣在桌上轉呀轉的時候就是在變,
但停下來了正面朝上就是朝上,不會突然變成反面朝上....

突然覺得這個說法很趣味XD

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回復 12# andydison 的帖子

謝謝您的回饋,不僅將球視為相異物,再依不同順序分球
事實上,
 andydison認為"將球編號,則哪顆球先分出去是不同的情況" 
 這是明顯的不合理。
 如果每個球是公平的分配,那麼哪顆先分怎麼可能會有差異呢?
 由於每顆球分配時均為獨立事件,因此您將球衣不同順序分出
 不過是將整個樣本空間等比例放大而已(如同您後面所述10!、9!),但機率不可能會改變

but,那麼為何依照andydison所列,樣本空間不是4*2!=8 種呢?
 因為andydison除了
 (甲,乙)=(白1白2,0)、(白2白1,0)、(白1,白2)、(白2,白1)、(0,白1白2)、(0,白2白1)外
 您少列了兩種: (白1,白2)、(白2,白1)
 既然甲獨得兩白球有(先分到白1、再分到白2)或是(先分到白2、再分到白1)兩種狀況
 那麼(白1,白2)自然也有(甲先分到白1、乙再分到白二)&(乙先分到白2、甲再分到白1)
    同理,(白2,白1)也有(乙先分到白1、甲再分到白二)&(甲先分到白2、乙再分到白1)各兩種狀況
 因此,因為您漏掉了這兩種,否則答案仍為4/8=1/2
    即便乘了9!、10!後,答案仍然以相異物的觀點為符合
 
 如此,您明白相同物為何要改用相異物觀點切入了嗎?

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回復 16# thepiano 的帖子

是的,在與這裡、及美夢成真論壇的老師討論後(似乎認同我想法的並不多),
我廣泛地尋求各種意見,而在PTT 發表文章詢問的也是小弟我,
除了yhliu留言之外,也尚有更多人回覆指教。
也提供另外一個答覆給各位,我請教的是前中一中的賴瑞楓老師,我想由他來做教甄的試教委員是最適合不過了
http://gb.tovery.net/jflai/   第#594則留言

如果說不以相異物的觀點視之,我比較能夠接受題意沒有敘述清楚這種說法。
如果將分球改為擲公平的硬幣,則較不會有各自表述的問題發生(除非老師仍存有迷思,堅持使用重複組合)

只是就分球原題的敘述,也許嚴格一點看來並不夠完整,
但正如同版上兩年前的這篇討論中,詳細的命題有時會讓人有畫蛇添足的感覺
如此地敘述應該還是可以讓人知道就是"公正的分球"
若要用重複組合來分,就必須在分球前先看到樣本空間中所有分球的可能性
再令每種可能發生的機會均等,重複組合的作法才會正確(但要在題目中如此敘述將更加複雜)

謝謝各位的悉心指教,
我想來這裡討論數學是開心的,但問問題並不是就是要"虛心接受指教",而是在討論中傾聽不同的說法
有既定的想法很好,可以互相討論,就此認定沒有討論的空間就很難再溝通下去
就像若學生來問問題,老師的回應是武斷而沒有傾聽空間的
或是直接請你去鑽研其他題目,別再問了。這樣的回覆實在讓人感覺很糟糕。
由於先前在美夢成真論壇的討論並不那麼令人開心,因此態度上若有讓各位覺得不舒服的地方,請多見諒!
謝謝各位在這裡奉獻想法,營造了一個討論數學的優良環境,非常感謝!

[ 本帖最後由 farewell324 於 2014-5-29 10:16 AM 編輯 ]

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回復 19# thepiano 的帖子

其實這些討論過程與數學、甚至這裡都沒有關係,
把紛爭帶來這裡相信不是大家所樂見的,我只想講我請益的想法,信不信...就在您了

感謝piano老師的熱心,在板上幫忙解了這一題,(且選的到正確答案)
而我在數年後一樣寫到這一題,有不同的想法但因為沒有答案可以選,
因此留言請教piano老師當時解題的想法。 
在此一階段,我的本意就是請教想法,而我也留下了我的想法供piano老師參考。

而在piano老師明確的告知解題想法後,
我查閱了各方資料(包含mathpro幾年前的討論),確定我的作法應該並沒有錯誤的時候
我才有了自己的意見,並主張自己的想法。
如果讓piano老師有種跳入陷阱的感覺,我實在非常抱歉。
畢竟您的熱心實在幫助我非常多,而我由衷的感激。

接著有其他人要加入討論,主張他的意見當然是好事,
若是想要跳出來"指教別人"的也歡迎,但至少要先能提出正確的觀點說服人才行

[ 本帖最後由 farewell324 於 2014-5-29 11:33 AM 編輯 ]

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引用:
原帖由 thepiano 於 2014-5-29 12:46 PM 發表
你確定你的做法正確,那是你的事,犯不著對跟你想法不同的人說三道四
我很後悔幫助到你,以後看到你的帖子,我會略過
看到piano老師態度依舊,其實我有些訝異,
您本沒有義務為我做任何事情,不管您態度如何,仍然感謝您。

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