填充第 10 題
一矩\(ABCD\)的周長為8,\(E\)為\(\overline{CD}\)的中點,一圓\(C\)過\(A\)、\(B\)兩點與\(\overline{CD}\)相切於\(E\)(如下圖),求圓\(C\)半徑的最小值為
。
[解答]
設圓半徑為 \(r\) ,令如圖中的角度為 \(\theta,\)
則 \(\overline{AD}=r+r\sin\theta, \overline{CD}=2r\cos\theta\)
已知 \(r+r\sin\theta+2r\cos\theta=4\)
\(\Rightarrow r\sin\theta+2r\cos\theta=4-r\)
所以 \(\left|4-r\right|\leq \sqrt{r^2+\left(2r\right)^2}\)
解得 \(r\geq-1+\sqrt{5}\) 或 \(r\leq-1-\sqrt{5}\)
且因為 \(r\) 為半徑,所以 \(r>0.\)
故,\(r\geq-1+\sqrt{5}.\)
亦即 \(r\) 的最小值為 \(-1+\sqrt{5}.\)