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100中科實中

第六題
若從\(1,2,\ldots,13\)中任選出相異三數\(x\)、\(y\)、\(z\),且\(x<y<z\),則\(y-x\ge 3\)且\(z-y\ge 3\)成立之機率為   
[解答]
意思是x,y至少差2;y,z也至少差2
那麼x,y和y,z之間先各塞兩個數,還剩下13-3-4=6個數,可以放在x前面、x,y之間、y,z之間和z後面四個地方
所以是\(\displaystyle H_6^4 \)

第三題是怎樣??這種東西要記???我只知道上限是兩人,其他什麼單位??

第二題,我指導的學生,可是他這篇是物理的!!!!
我們學校,唉,好資值的學生都被先被其他科搶走,感嘆!!!!!!!!
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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計算證明一
設\(f(x)=cos x+sin(\sqrt{3}x)\),試證:\(f(x)\)不是週期函數。
[解答]
\(\displaystyle \cos{x} \)的週期是\(\displaystyle 2\pi \)
\(\displaystyle \sin{\sqrt{3}x} \)的週期是\(\displaystyle \frac{2\pi}{\sqrt3} \)
假設f(x)是週期函數,其週期為p
那麼存在正整數m,n,使得
\(\displaystyle p=m \times 2\pi , p=n \times \frac{2\pi}{\sqrt3} \)
兩式相除得到\(\displaystyle \sqrt3=\frac{n}{m} \)
那麼\(\displaystyle \sqrt3 \)為有理數,與已知矛盾,
故f(x)不是週期函數
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計算證明二
對任意正整數\(n\),設\(a_n\)是方程\(\displaystyle x^3+\frac{x}{n}=1\)的正實數根,求證:(1)\(a_{n+1}>a_n\) (2)\(\displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{1}{(i+1)^2a_i}<1\)。
[解答]
(1)
顯然所有\( a_n \)在(0,1)之間
\(\displaystyle a_{n+1}^3+\frac{a_{n+1}}{n+1}=1 \)
\(\displaystyle a_{n}^3+\frac{a_{n}}{n}=1 \)
兩式相減
\(\displaystyle (a_{n+1}^3-a_{n}^3)+\frac{a_{n+1}}{n+1}-\frac{a_{n}}{n}=0 \)
\(\displaystyle (a_{n+1}^3-a_{n}^3)+\frac{a_{n+1}}{n}-\frac{a_{n}}{n}=\frac{a_{n+1}}{n}-\frac{a_{n+1}}{n+1}>0 \)
\(\displaystyle (a_{n+1}-a_{n})(a_{n+1}^2+a_{n+1}a_{n}+a_{n}^2+\frac{1}{n})>0 \)
後項為正,故
\(\displaystyle a_{n+1}-a_{n}>0 \)

(2)
實在找不到如何用第一小題來證,還是說其實我的第一小題不該這樣證。
看起來像積分,但是找不到,只好硬作。

先證明
\(\displaystyle a_{k}>\frac{k}{k+1} \)
就以\( x=\frac{k}{k+1} \)代入 \( x^3+\frac{x}{k}-1 \)
\(\displaystyle \frac{k^3}{(k+1)^3}+\frac{1}{k+1}-1 \)
只算分子部分
\(\displaystyle k^3+(k+1)^2-(k+1)^3=-2k^2-k<0 \)
故成立

接著就有
\(\displaystyle \frac{1}{(i+1)^2 a_{i}}<\frac{1}{i(i+1)}=\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1} \)
所求就為
\(\displaystyle 1-\frac{1}{n+1}<1 \)
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