填充題第 5 題
空間中有三點\(A(-1,1,3)\)、\(B(3,1,5)\)、\(P(4,-1,-4)\),若球面\(S\)過\(A\)、\(B\)兩點且球心在平面\(E\):\(5x-2y+5z-14=0\)上,則滿足此條件的球面\(S\)有無限多個,其中半徑最小的球面方程式為
。
[解答]
球心必過 \(\overline{AB}\) 的垂直平分面,
先寫出 \(\overline{AB}\) 的垂直平分面為 \(2\cdot(x-1)+0\cdot(y-1)+1\cdot(z-4)=0\)
\(\Rightarrow 2x+z-6=0\)
且依題意,球心亦在平面 \(E\) 上,
所以,可以先解出兩者的相交直線方程式的參數式,即為球心所在直線的的參數式
解兩面交線的參數式後,可設球心為 \(\displaystyle O(t,8-\frac{5}{2}t,6-2t)\)
則 \(\displaystyle \overline{OB}^2 = \left(t-3\right)^2+\left(8-\frac{5t}{2}-1\right)^2+\left(6-2t-5\right)^2 = \frac{45}{4}\left(t-2\right)^2+14\)
所以當 \(t=2\) 時,半徑最小為 \(\sqrt{14}\),
且此時球心坐標為 \((2,3,2)\)
故,所求球面方程式為 \(\left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2+\left(z-2\right)^2=14.\)
113.4.24補充
空間中有\(A(-1,3,2)\),\(B(3,3,4)\)兩點,過\(A\)、\(B\)兩點且球心在平面\(E\):\(5x-2y+5z-5=0\)上之球面有無限多個,則其中半徑最小之球面\(S\)的方程式為
。
(113大直高中,
https://math.pro/db/thread-3846-1-1.html)