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100中科實中

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填充第 10 題

解答:

設圓半徑為 \(r\) ,令如圖中的角度為 \(\theta,\)



則 \(\overline{AD}=r+r\sin\theta, \overline{CD}=2r\cos\theta\)

已知 \(r+r\sin\theta+2r\cos\theta=4\)

\(\Rightarrow r\sin\theta+2r\cos\theta=4-r\)

所以 \(\left|4-r\right|\leq \sqrt{r^2+\left(2r\right)^2}\)

解得 \(r\geq-1+\sqrt{5}\) 或 \(r\leq-1-\sqrt{5}\)

且因為 \(r\) 為半徑,所以 \(r>0.\)

故,\(r\geq-1+\sqrt{5}.\)

亦即 \(r\) 的最小值為 \(-1+\sqrt{5}.\)

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填充題第 5 題

解答:

球心必過 \(\overline{AB}\) 的垂直平分面,

先寫出 \(\overline{AB}\) 的垂直平分面為 \(2\cdot(x-1)+0\cdot(y-1)+1\cdot(z-4)=0\)

            \(\Rightarrow 2x+z-6=0\)

且依題意,球心亦在平面 \(E\) 上,

所以,可以先解出兩者的相交直線方程式的參數式,即為球心所在直線的的參數式

解兩面交線的參數式後,可設球心為 \(\displaystyle O(t,8-\frac{5}{2}t,6-2t)\)

則 \(\displaystyle \overline{OB}^2 = \left(t-3\right)^2+\left(8-\frac{5t}{2}-1\right)^2+\left(6-2t-5\right)^2 = \frac{45}{4}\left(t-2\right)^2+14\)

所以當 \(t=2\) 時,半徑最小為 \(\sqrt{14}\),

且此時球心坐標為 \((2,3,2)\)

故,所求球面方程式為 \(\left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2+\left(z-2\right)^2=14.\)

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第 14 題也可以坐標化,令 \(B(0,0), C(1,0), A(0,1)\)

然後用分點公式找出 \(D,E,F,G\) 點坐標,

再求 \(DF\) 直線與 \(EG\) 直線方程式,

並且找出兩直線的交點 \(H(\beta,  \alpha).\)

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回復 13# waitpub 的帖子

因為 \(\vec{BA}\) 與 \(\vec{BC}\) 不平行,

所以此兩向量線性獨立,

故可以當成此平面的基底向量。 ^__^

至於上面的坐標化,就是建立斜坐標。

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回復 18# tunmu 的帖子

第 11 題

解答:

先求出 \(A, B\) 的中點 \(\displaystyle C(3, \frac{7}{2}, 1)\)



\(\displaystyle \overline{AC}=\frac{\sqrt{5}}{2}\)

\(\displaystyle \overline{PC}\) 的最大值為 \(\displaystyle \sqrt{\left(1-3\right)^2+\left(2-\frac{7}{2}\right)^2+\left(0-1\right)^2}+2=\frac{\sqrt{29}}{2}+2\)

所以,\(\displaystyle \overline{PA}^2 + \overline{PB}^2= 2\left(\overline{PC}^2+\overline{AC}^2\right)\)

         \(\displaystyle \geq 2\left(\left(\frac{\sqrt{29}}{2}+2\right)^2+\frac{5}{4}\right)\)

         \(= 25+4\sqrt{29}.\)

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