題目和選擇題答案,請見附件。

選擇題10.
令\( p=\root 3 \of {2+\sqrt{5}}+\root 3 \of {2-\sqrt{5}} \)，則下列敘述何者為真：
(A) p是有理數　(B) p是大於1的實數　(C) p不是整數　(D) \( p=1 \)　(E) 以上皆非

試求下列各題：
(1)求\( \root 3 \of {2+\sqrt{5}}+\root 3 \of {2-\sqrt{5}} \)之值。
(2)求使\( x=\root 3 \of {2+\sqrt{5}}+\root 3 \of {2-\sqrt{5}} \)之最低整係數方程式。
(96南港高工)


計算題6.
觀察\( \displaystyle C_0^n+C_1^n+...+C_n^n=(C_0^n+C_3^n+C_6^n+...)+(C_1^n+C_4^n+...)+(C_2^n+C_5^n+...) \)
令\( \displaystyle A=C_0^n+C_3^n+C_6^n+...+C_{3k}^{3k} \)，\( \displaystyle B=C_1^{3k}+C_4^{3k}+...+C_{3k-2}^{3k} \)，\( k \in N \)
(1)比較A與B的大小關係。
(2)計算A值。

\( \displaystyle C_0^n+C_3^n+C_6^n+...+C_{3m-3}^n+C_{3m}^n=\frac{1}{3}(2^n+2cos \frac{n \pi}{3}) \)
其中3m是不大於n的最大整數。
\( \displaystyle C_1^n+C_4^n+C_7^n+...+C_{3m+1}^n=\frac{1}{3}(2^n+2cos \frac{n-2}{3}\pi) \)
其中3m+1是不大於n的最大整數。
(神奇的複數: 如何利用複數解中學數學難題P23,P24)

101.6.22補充
已知\( n \in N \)，且n為6的倍數，則\( C_0^n+C_3^n+C_6^n+...+C_n^n \)之值為
(101松山家商，https://math.pro/db/thread-1425-1-1.html)


設\( \displaystyle (1+x)^{200}=\sum_{k=0}^{200}a_k x^k \)，則\( \displaystyle \sum_{k=1}^{66}a_{3k}= \)？
(99安樂高中，https://math.pro/db/thread-1008-1-3.html)

設 C(100,3k),k從0到33之和為S，請問S為幾位正整數？首位數為何？末位數為何？
http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=39008

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-6-22 06:11 AM 編輯 ]

感謝羅東高中官長壽老師提供答案
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2497

填充題3.
設直線L：\( \displaystyle \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1} \)在平面E：\( \displaystyle x-y+2z-1=0 \)上的投影直線為M，將直線M繞y軸旋轉一周所成的曲面方程式為？
[解答]
(1)L上的點可以用參數式表示\( P(t+1,t,-t+1) \)，\( t \in R \)

(2)求P對平面E的投影點Q
假設直線\( \displaystyle \overline{PQ} \)：\( \displaystyle \frac{x-(t+1)}{1}=\frac{y-t}{-1}=\frac{z-(-t+1)}{2} \)
直線參數式為\( (s+t+1,-s+t,2s-t+1) \)，\( s \in R \)
直線\( \overline{PQ} \)和平面E的交點為Q
\( (s+t+1)-(-s+t)+2(2s-t+1)-1=0 \)，\( \displaystyle s=\frac{t-1}{3} \)
\( \displaystyle Q \Bigg(\;\frac{4t+2}{3},\frac{2t+1}{3},\frac{-t+1}{3} \Bigg)\; \)，\( t \in R \)

(3)求單葉雙曲面方程式
O，P，Q都在平面\( \displaystyle y=\frac{2t+1}{3} \)上，得\( \displaystyle t=\frac{3y-1}{2} \)
\( \overline{OP}=\overline{OQ} \)
\( \displaystyle x^2+z^2=\Bigg(\; \frac{4t+2}{3} \Bigg)\;^2+\Bigg(\; y-\frac{2t+1}{3} \Bigg)\;^2+\Bigg(\; \frac{-t+1}{3} \Bigg)\;^2 \)
\( \displaystyle x^2+z^2=(2y)^2+\Bigg(\; \frac{1-y}{2} \Bigg)\;^2 \)
答案
\( \displaystyle x^2+z^2=\frac{17}{4}y^2-\frac{1}{2}y+\frac{1}{4} \)

05.23
感謝老王指教，我將圖換成單葉雙曲面

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-5-23 08:46 PM 編輯 ]