選擇第 2 題：

\(s=1-x-y\leq 0,    t=2x-y-2\leq 0,    x\geq0,    y\geq0\)

先畫出可行解區域，



再以頂點法，將各頂點帶入目標函數 \(f(x,y)=5x-3y\)，

可得當 \(x=0,y=2\) 時，\(f(0,2)=6\) 為最大值。

選擇題第 7 題

其實這個行列式還蠻好算的呀，一堆東西都一樣，很快就可以消出一堆 \(0\)，

把該行列式

ｉ、將第一行成以 \(-1\) 倍，加到第二、三、四行，

ｉｉ、再將第一列乘以 \(-1,-1,3\) 倍分別加至第二、三、四列，

ｉｉｉ、再延第二行展開得一個三階行列式

ｉｖ、再延第一列展開得一個二階行列式

把這個二階行列式展開，得 \(x\) 的一元二次方程式，所以方程式有兩個根。（題目沒說要實數根，所以也不用檢查是否是實數根。）



註：如果一開始改用第一列乘以 \(-1\) 倍加到第二列，似乎也不錯，哈。

第 8 題：

解答：

\(\displaystyle 3\log_{\frac{1}{3}} x > \log_{\frac{1}{3}} \left(2x-1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^3<2x-1\) 且 \(x>0\) 且 \(2x-1>0\)

\(\Leftrightarrow x^3<2x-1\) 且 \(x>0\) 且 \(2x-1>0\)

\(\Leftrightarrow x^3-2x+1<0\) 且 \(x>0\) 且 \(2x-1>0\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \left(x-1\right)\left(x-\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)\left(x-\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\right)<0\) 且 \(x>0\) 且 \(2x-1>0\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \frac{-1+\sqrt{5}}{2}<x<1\)

所以，\(\displaystyle a=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=0.618... , b=1\)


第 5 題：

題目所求為〝在空間中，以原點為球心，\(3\) 為半徑的球〞其中 \(z\geq0\) 的上半球的體積，

所以為 \(\displaystyle \frac{4\pi\cdot 3^3}{3}\cdot \frac{1}{2}=18\pi.\)

\(\displaystyle q=y, r=-\frac{q-1}{2}=-\frac{y-1}{2}, p=2+4\cdot\left(\frac{q-1}{2}\right)=2+4\cdot\left(\frac{y-1}{2}\right)\)

通通帶入 \(\displaystyle x^2+(y-q)^2+z^2=p^2+r^2 \) 就可以了！

選擇第 4 題：

\(\displaystyle w=\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\)

\(\displaystyle \overline{w}=\cos\frac{2\pi}{3}-i\sin\frac{2\pi}{3}=\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}=w^2=-\left(1+w\right)\)

所以，\(\displaystyle z_2=\left(a+bw\right)\left[a-b\left(1+w\right)\right]\)

　　　　　\(\displaystyle =\left(a+bw\right)\left(a+b\overline{w}\right)\)

　　　　　\(\displaystyle =\left(a+bw\right)\overline{\left(a+bw\right)}\)

　　　　　\(\displaystyle =z_1\cdot\overline{z_1}\)

　　　　　\(\displaystyle =\left|z_1\right|^2\)

計算題第 6 題


第一小題，

令 \(\displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3} i}{2},\)

　　\(f(x) = \left(1+x\right)^{3k}=C^{3k}_0+C^{3k}_1 x+C^{3k}_2 x^2+\cdots+C^{3k}_{3k} x^{3k},\)

則

\(\displaystyle A= f(x)\mbox{ 之中 } x \mbox{ 的 } 0,3,6 \cdots { 次方項的係數和}\)

　　　\(\displaystyle =\frac{f(1)+f(\omega)+f(\omega^2)}{3}\)

　　　\(\displaystyle =\frac{2^{3k}+(1+\omega)^{3k}+(1+\omega^2)^{3k}}{3} \)

　　　\(\displaystyle =\frac{2^{3k}+(-\omega^2)^{3k}+(-\omega)^{3k}}{3}\)

　　　\(\displaystyle =\frac{2^{3k}+(-1)^{3k}+(-1)^{3k}}{3}\)

　　　\(\displaystyle =\frac{2^{3k}+2\cdot(-1)^{3k}}{3}\)

　　　\(\displaystyle =\frac{2^{3k}+2\cdot(-1)^{k}}{3}\)

\(\displaystyle B=x^2\cdot f(x)\mbox{ 之中 } x \mbox{ 的 } 0,3,6 \cdots { 次方項的係數和}\)

　　　\(\displaystyle =\frac{1\cdot f(1)+\omega^2\cdot f(\omega)+\omega^4\cdot f(\omega^2)}{3}\)

　　　\(\displaystyle =\frac{2^{3k}+\omega^2(1+\omega)^{3k}+\omega^4(1+\omega^2)^{3k}}{3} \)

　　　\(\displaystyle =\frac{2^{3k}+\omega^2(-\omega^2)^{3k}+\omega(-\omega)^{3k}}{3}\)

　　　\(\displaystyle =\frac{2^{3k}+\omega^2(-1)^{3k}+\omega(-1)^{3k}}{3}\)

　　　\(\displaystyle =\frac{2^{3k}+\omega^2(-1)^{k}+\omega(-1)^{k}}{3}\)

所以，

\(\displaystyle A-B=\frac{(-1)^k\cdot(2-\omega^2-\omega)}{3}\)

　　　\(\displaystyle =\frac{(-1)^k\cdot\left[3-\left(1+\omega+\omega^2\right)\right]}{3}\)

　　　\(\displaystyle =(-1)^k\)

當 \(k\) 為偶數時，\(\displaystyle A-B=1.\)

當 \(k\) 為奇數時，\(\displaystyle A-B=-1.\)

所以，當 \(k\) 為奇數時，\(A<B\)；當 \(k\) 為偶數時，\(A>B.\)





第二小題，

\(\displaystyle A=\frac{2^{3k}+2\cdot(-1)^{k}}{3}\)

註：感謝老王老師指點～讓這個答案＆過程都變得更簡潔！超感激！^____^