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圓錐曲線證明題,給定雙曲線,求焦弦三角形最小面積

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引用:
原帖由 Ellipse 於 2011-4-8 11:27 PM 發表


則|y1-y2|=|2mb^2*a(1+m^2)^0.5/(b^2-a^2*m^2)|
=| 2ab^2(1+m^2)^0.5/(a^2-b^2/m^2) |
>=| 2ab^2(1+m^2)^0.5/a^2|
>=| 2ab^2/a^2|=2b^2/a=正焦弦長-------------(*7)
最後這邊有點問題,(*7)式上面一行,根號裡面應該是(1+1/m^2)
如此就可以知道當m^2趨近無限大時,極限值為2b^2/a
但此極限是否為最小值仍應進一步說明。

回到\(\displaystyle (y_1-y_2)^2 \)的部分
\(\displaystyle (y_1-y_2)^2=\frac{4a^2b^4(m^4+m^2)}{a^4m^4-2a^2b^2m^2+b^4} \)
題意應該有A、B在同一支上,所以要有條件
\(\displaystyle  m > \frac{b}{a} \)

那麼\(\displaystyle  a^2m^2 > b^2 \)
分母部分\(\displaystyle  a^4m^4-2a^2b^2m^2+b^4 < a^4m^4 \)
所以才有
\(\displaystyle  \frac{4a^2b^4(m^4+m^2)}{a^4m^4-2a^2b^2m^2+b^4} > \frac{4a^2b^4m^4}{a^4m^4}=\frac{4b^4}{a^2} \)

[ 本帖最後由 老王 於 2011-4-11 09:20 PM 編輯 ]
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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這倒挺有趣的~~~

假設兩焦點為\(\displaystyle F_1,F_2 \)
並且\(\displaystyle  A-F_1-B \)
那麼由定義會有
\(\displaystyle AF_2-AF_1=BF_2-BF_1=2a \)
再令\(\displaystyle AF_1=p,BF_1=q \)
會有\(\displaystyle s=2a+p+q \)
\(\displaystyle s-AB=2a,s-AF_2=q,s-BF_2=p \)
由海龍公式
\(\displaystyle \sqrt{s(s-AB)(s-AF_2)(s-BF_2)}=\sqrt{2apq(2a+p+q)} \)
所以只要知道p,q的關係即可求極值

參考
http://tw.myblog.yahoo.com/oldblack-wang/article?mid=1967&next=1940&l=f&fid=17

[ 本帖最後由 老王 於 2011-4-12 07:11 PM 編輯 ]
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