引用:

原帖由 weiye 於 2011-2-21 04:33 PM 發表
九十八學年度高屏區，高級中學數學及自然科能力競賽，數學筆試（二）

當中的第一題題目為：

一、設函數具有性質 \(f(x-1)f(y-1)=f(xy-x-y+1)+2x-3y+3\)，求 \(f(2009)=?\)

官方版的答案詳見：http://140.122.140.4/exam/hs/98/doc/98_hs_exam_report.pdf ...

weiye兄您好:

只有當x=y時,f(x-1)*f(y-1)與f(xy-x-y-1)+2x-3y+3左右兩邊等號才成立

您沒用到x=y這條件,所以f(x-1)*f(y-1)與f(xy-x-y-1)+2x-3y+3左右兩邊等號不成立

但,您注意到了官方解答一開始用了x=y這條件當然f(x-1)*f(y-1)與f(xy-x-y-1)+2x-3y+3左右兩邊等號成立,就能算出答案

題目有瑕疵?還是要學生去推導判斷這個等式若能成立,是發生在x=y時?


註:    f(x-1)*f(y-1)=f(xy-x-y+1)+2x-3y+3--------(i)
     又f(y-1)*f(x-1)=f(yx-y-x+1)+2y-3x+3--------(ii)
     (i)-(ii)  得 2x-3y+3=2y-3x+3  ,所以x=y
     此時等號才成立...

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2011-2-21 10:28 PM 編輯 ]

引用:

原帖由 Ellipse 於 2011-2-21 10:11 PM 發表


weiye兄您好:

只有當x=y時,f(x-1)*f(y-1)與f(xy-x-y-1)+2x-3y+3左右兩邊等號才成立

您沒用到x=y這條件,所以f(x-1)*f(y-1)與f(xy-x-y-1)+2x-3y+3左右兩邊等號不成立

但,您注意到了官方解答一開始用了x=y這條件當 ...

後來看它的解答也很奇怪,既然x=y,它最後又先令y=1,後來又代x=2009

引用:

原帖由 weiye 於 2011-2-21 10:57 PM 發表


咦，對耶，根據性質要成立的條件，必須先滿足 x=y，

而因此也只能得到 \(\left(f(a)\right)^2=f(a^2)+2-a\)，而不能將 \(x\) 與 \(y\) 分別代不同值，

所以官方解答後段寫的 \(y=1\) 又代 \(x=2009\) 看來似乎真的不行（若 \(x ...

變成說最後要求f(2009)可能求不出來,但果改求f(1)就行了..但會太簡單

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2011-2-22 10:27 AM 編輯 ]