那我把這題的求解過程補完好了，請見如下：
令 \(\displaystyle y_1=\cos\frac{2\pi}{9}, y_2=\cos\frac{4\pi}{9}, y_3=\cos\frac{8\pi}{9}\)，
先求出以 \(y_1,y_2,y_3\) 為三根的一元三次方程式 \(\displaystyle y^3-\frac{3}{4}y+\frac{1}{8}=0\)（這一步驟可見最上方 bugmens 的第一次回覆）
因此可得 \(\displaystyle\left\{\begin{array}{ccc}\displaystyle y_1+y_2+y_3&=&0\\y_1y_2+y_2y_3+y_3y_1&=&-\frac{3}{4}\\y_1y_2y_3&=&-\frac{1}{8}\end{array}\right.\)
設以 \(\sqrt[3]{y_1},\sqrt[3]{y_2},\sqrt[3]{y_3}\) 為根的方程式為 \(z^3-Az^2+Bz-C=0\)，則可得
\(\displaystyle\left\{\begin{array}{ccc}\sqrt[3]{y_1}+\sqrt[3]{y_2}+\sqrt[3]{y_3}&=&A\\ \sqrt[3]{y_1y_2}+\sqrt[3]{y_2y_3}+\sqrt[3]{y_3y_1}&=&B\\ \sqrt[3]{y_1y_2y_3}&=&C\end{array}\right.\)
顯然，\(\displaystyle C=\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}=-\frac{1}{2}\)，
再來要利用 \(\displaystyle\left(m+p+q\right)^3=m^3+p^3+q^3+3\left(m+p+q\right)\left(mp+pq+qm\right)-3mpq\)‧‧‧‧‧※※
（← 整個解法的核心之一！）
（ｉ）將 \(m,p,q\) 分別以 \(\displaystyle\sqrt[3]{y_1},\sqrt[3]{y_2},\sqrt[3]{y_3}\) 帶入※※，
可得 \(\displaystyle\left(\sqrt[3]{y_1}+\sqrt[3]{y_2}+\sqrt[3]{y_3}\right)^3=\left(y_1+y_2+y_3\right)+3\left(\sqrt[3]{y_1}+\sqrt[3]{y_2}+\sqrt[3]{y_3}\right)\left(\sqrt[3]{y_1y_2}+\sqrt[3]{y_2y_3}+\sqrt[3]{y_3y_1}\right)-3\sqrt[3]{y_1y_2y_3}\)
\(\displaystyle\Rightarrow A^3=3AB+\frac{3}{2}\) ．．．．（第一式）
（ｉｉ）將 \(m,p,q\) 分別以 \(\sqrt[3]{y_1y_2},\sqrt[3]{y_2y_3},\sqrt[3]{y_3y_1}\) 帶入※※，
可得 \(\displaystyle B^3=-\frac{3}{4}-\frac{3}{2}BA-\frac{3}{4}\)
\(\displaystyle\Rightarrow B^3=-\frac{3}{2}AB-\frac{3}{2}\) ‧‧‧‧（第二式）
將〝（第一式）乘（第二式）〞，
可得 \(\displaystyle(AB)^3 = \left(3AB+\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}AB-\frac{3}{2}\right)\)
把 \(AB\) 視為一個變數，可解其一元三次方程式（這一部分可能要套
一元三次方程式的公式解比較快），
得其中的實根 \(\displaystyle AB=-\frac{3+\sqrt[3]{9}}{2}.\)
再分別帶入（第一式）及（第二式），
即可得 \( \displaystyle A=\root 3 \of{\frac{3}{2}\root 3 \of 9-3} \) 且 \( \displaystyle B=\root 3 \of{\frac{3}{4}(1-\root 3 \of 9)} \)，
亦即，
\( \displaystyle \root 3 \of {\cos \frac{2 \pi}{9}}+\root 3 \of{\cos \frac{4 \pi}{9}}+\root 3 \of{\cos \frac{8 \pi}{9}}=\root 3 \of{\frac{3}{2}\root 3 \of 9-3} \)
且
\( \displaystyle \root 3 \of{\cos \frac{2 \pi}{9}\cos \frac{4 \pi}{9}}+\root 3 \of{\cos \frac{4 \pi}{9}\cos \frac{8 \pi}{9}}+\root 3 \of{\cos \frac{8 \pi}{9}\cos \frac{2 \pi}{9}}=\root 3 \of{\frac{3}{4}(1-\root 3 \of 9)}\)
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