將所有的變數 \(x\) 都換成 \(\displaystyle \frac{1}{x}\)（ \(x\) 只是個變數，看你要換成蝦咪都可以，別擔心），

則可得方程式 \(\displaystyle f(\frac{1}{x})-2f(x)=\frac{1}{x}\)，



所以加上題目給的，我們就有兩個 \(f\) 函數所滿足的關係式了，可以把這兩個關係式抓來解聯立方程式

\(\displaystyle\left\{\begin{array}{ccc}\displaystyle f(x)-2f(\frac{1}{x})=x\\ f(\frac{1}{x})-2f(x)=\frac{1}{x}\end{array}\right.\)，



將上列的第二式乘以 \(2\) 之後，再與第一式相加，

故，可得 \(\displaystyle f(x)=\frac{\displaystyle x+\frac{2}{x}}{-3}.\)

多選第 1 題（Ｄ）選項：令 \(|z_1|=a, |z_2|=b\)，

　　　　　　　　　　　　等同於：

　　　　　　　　　　　　已知 \(a,b\) 為非負實數且 \(a^2+b^2=1\)，

　　　　　　　　　　　　求證 \(a+b\leq \sqrt{2}.\)

　　　　　　　　　　　　由柯西不等式即可證明之。






填充第 6 題：擲三粒均勻骰子一次，則在至少出現一粒四點條件下，其點數和為偶數之機率為__________。

所求 \(\displaystyle= \frac{\mbox{至少有一粒四點且點數和為偶數的情況}}{\mbox{至少有一粒四點的情況}}\)

　　 \(\displaystyle= \frac{\mbox{恰有三粒四點＋恰有兩粒四點且另一粒為 2 or 6 ＋恰有一粒四點且另兩粒非四點的點數和為偶數}}{\mbox{至少有一粒四點的情況}}\)

　　 \(\displaystyle= \frac{C^3_3 + C^3_2\times 2+C^3_1\times\left(2\times2+3\times3\right)}{6^3-5^3}\)

　　 \(\displaystyle= \frac{46}{91}\)

填充題第 10 題：有21 個相同球放入3 個不同袋子，每袋至少一球，則滿足「任二袋球數和必大於第三袋球數」之放法有_________種。


case i. 三袋球數都相同

　　　(7,7,7) → \(1\) 種

case ii. 恰某兩袋球數相同

　　　(1,10,10), (3,9,9), (5,8,8), (6,6,9) → \(\displaystyle 4\times\frac{3!}{2!1!} = 12\) 種

case iii. 三袋球數都相異

　　　(2,9,10), (3,8,10), (4,8,9), (4,7,10),

　　　(5,7,9), (5,6,10), (6, 7,8) → \(7\times3!=42\) 種

故，共有 \(1+12+42=55\) 種。




ps. 以下補充一下，上面那十二個有序數組是怎樣來的：

　　令 a≦b≦c

　　由 a+b+c=21 且 a+b>c

　　可得 2c≦21≦3c → 7≦c≦10

　　當 c=7 時，a+b=14 → (a,b)=(7,7)

　　當 c=8 時，a+b=13 → (a,b)=(5,8), (6,7)

　　當 c=9 時，a+b=12 → (a,b)=(3,9), (4,8), (5,7), (6,6)

　　當 c=10 時，a+b=11 → (a,b)=(1,10), (2,9), (3,8), (4,7), (5,6)