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97南港高工

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回復 1# f19791130 的帖子

請教第4題,感謝。

4.
\(n\)為自然數,\(a>0\),\(b>0\),試證:\( \displaystyle \left( \frac{a+b}{2} \right)^n \le \frac{a^n+b^n}{2} \)。

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回復 6# thepiano 的帖子

E [ g(X) ] >=  g ( E[x] ) if  g convex
Let  L(X)=aX+b , then E [ g(X) ] >=E [ L(X) ] = E[aX+b] = a*E[x]+b = L(E[X]) = g(E[X])
這是找到的Jensen's inequality,但這跟第4題有甚麼關係?

新增,後來再找到一些資料,叫做Jensen's Inequality and its Applications,得證了。
x1,x2,...,xn. Let a1,a2,...an>=0
E [ g(X) ] = E [ g(x1)+g(x2)+...+g(xn)] = a1*g(x1)+a2*g(x2)+...+an*g(xn) / a1+a2+...+an
g [ E(X) ] = g [ a1*x1+a2*x2+...+an*xn / a1+a2+...+an ]
在第4題中,n=2,a1*g(x1)+a2*g(x2) / a1+a2  > g [ a1*x1+a2*x2 / a1+a2 ]
g(x)=x^n , a1=a2=1 , x1=a , x2=b
(x^n + y^n) / 2  > ( a+b / 2 )^n ,得證。

[ 本帖最後由 mathca 於 2016-1-2 10:42 AM 編輯 ]

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回復 5# XYZ 的帖子

(A/ 2+B/ 2)^n = C(n,n)*(A/ 2)^n + ..... +C(n,0) *(B/ 2)^n
C(n,n)*(A/ 2)^n  < A^n / 2 OK!
C(n,n)*(B/ 2)^n  < B^n / 2 OK!
但中間項如何比?

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回復 9# cefepime 的帖子

感謝,增廣見識了。

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