或許看完這篇 https://math.pro/db/thread-222-1-1.html 你應該就會有證明的想法了，

如果看完之後真的還是沒有想法的話，傳個短訊息給我，我再來寫個詳細證明。 ^__^

第 3 題

解答：

令 \(\displaystyle \left(3+\sqrt{7}\right)^n=C^n_0 3^n+ C^n_1 3^{n-1}\left(\sqrt{7}\right)+ C^n_2 3^{n-2}\left(\sqrt{7}\right)^2+\cdots+ C^n_n \left(\sqrt{7}\right)^n\)

　　　　　\(=A+B\sqrt{7}\) ，其中 \(A,B\) 為整數，

則 \(\displaystyle \left(3-\sqrt{7}\right)^n=C^n_0 3^n- C^n_1 3^{n-1}\left(\sqrt{7}\right)+ C^n_2 3^{n-2}\left(\sqrt{7}\right)^2+\cdots+ \left(-1\right)^n C^n_n \left(\sqrt{7}\right)^n\)

　　　　　\(=A-B\sqrt{7},\)


\(\displaystyle \Rightarrow \left(3+\sqrt{7}\right)^n+\left(3-\sqrt{7}\right)^n=2A\)

\(\displaystyle \Rightarrow \left(3+\sqrt{7}\right)^n=\left(2A-1\right)+\left[1-\left(3-\sqrt{7}\right)^n\right]\)

又因為 \(\displaystyle 0<3-\sqrt{7}<1\Rightarrow 0<\left(3-\sqrt{7}\right)^n<1\Rightarrow 0<1-\left(3-\sqrt{7}\right)^n<1\)

所以 \(\displaystyle \left(3+\sqrt{7}\right)^n\) 的整數部分為 \(2A-1\)，小數部分為 \(\displaystyle 1-\left(3-\sqrt{7}\right)^n.\)

故，\(\displaystyle \left(3+\sqrt{7}\right)^n\) 的整數部分為奇數。

第 4 題：

因為 \(x\) 為實數，

必存整數 \(m\)，使得 \(2m\leq x<2m+1\) 或 \(2m+1\leq x<2m+2\)

case i: 若 \(2m\leq x<2m+1\)，則 \([x]=2m\)

　　　　且 \(\displaystyle m\leq\frac{x}{2}<m+\frac{1}{2}\Rightarrow [\frac{x}{2}]=m\)

　　　　且 \(\displaystyle m+\frac{1}{2}\leq\frac{x+1}{2}<m+1\Rightarrow [\frac{x+1}{2}]=m\)

　　　　所以 \(\displaystyle [\frac{x}{2}]+[\frac{x+1}{2}]=[x]\)

case ii: 若 \(2m+1\leq x<2m+2\)，則 \([x]=2m+1\)

　　　　且 \(\displaystyle m+\frac{1}{2}\leq\frac{x}{2}<m+1\Rightarrow [\frac{x}{2}]=m\)

　　　　且 \(\displaystyle m+1\leq\frac{x+1}{2}<m+1+\frac{1}{2}\Rightarrow [\frac{x+1}{2}]=m+1\)

　　　　所以 \(\displaystyle [\frac{x}{2}]+[\frac{x+1}{2}]=[x]\)

由 case i & ii 可得 \(\displaystyle [\frac{x}{2}]+[\frac{x+1}{2}]=[x].\)

第 5 題：

設將 \(1,2,3,\cdots, 27\) 任意圍成一圈依序為 \(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_{27}\) 可使相鄰兩整數和為質數，

因為 \(1\) 只出現一次，因此相鄰兩整數和必為奇質數，

設 \(a_1+a_2=p_1,a_2+a_3=p_2,a_3+a_4=p_3,\cdots,a_{27}+a_1=p_{27}\)　‧‧‧‧‧‧（＊）

其中 \(p_1,p_2,p_3,\cdots,p_{27}\) 皆為奇質數，

將（＊）列的 27 個式子相加，

可得 \(2\left(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{27}\right)=p_1+p_2+\cdots+p_{27}\)

上式左邊為偶數，上式右邊為奇數個奇質數的和為奇數，矛盾，

故，不可能將 \(1,2,3,\cdots,27\) 排成一圈圈使得相鄰兩整數和皆為質數。

第 9 題：

一、當 \(n=1,2,3\) 時，易知 \(2^1\geq 1+1\cdot\sqrt{2^0}, 2^2\geq1+2\cdot\sqrt{2^1}, 2^3\geq1+3\cdot\sqrt{2^2}\) 皆成立。

二、假設當 \(n=k\)，其中 \(k\) 為不小於 \(3\) 的整數時，\(2^k\geq1+k\sqrt{2^{k-1}}\) 會成立。

　　則當 \(n=k+1\) 時，

　　\(2^{k+1}=2\cdot2^k\geq2\cdot(1+k\sqrt{2^{k-1}})\)

　　　　\(=2+\sqrt{2}\cdot k\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{2^{k-1}}\)

　　　　\(>1+1.4\times k\sqrt{2^k}=1+(k+0.4k)\sqrt{2^k}\)

　　　　\(>1+(k+1)\sqrt{2^k}\)　亦成立。

由一、二及數學歸納法原理，

可知對任意自然數 \(n\)，\(2^n\geq1+n\sqrt{2^{n-1}}\) 皆成立。