第 5 題：

設將 \(1,2,3,\cdots, 27\) 任意圍成一圈依序為 \(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_{27}\) 可使相鄰兩整數和為質數，

因為 \(1\) 只出現一次，因此相鄰兩整數和必為奇質數，

設 \(a_1+a_2=p_1,a_2+a_3=p_2,a_3+a_4=p_3,\cdots,a_{27}+a_1=p_{27}\)　‧‧‧‧‧‧（＊）

其中 \(p_1,p_2,p_3,\cdots,p_{27}\) 皆為奇質數，

將（＊）列的 27 個式子相加，

可得 \(2\left(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{27}\right)=p_1+p_2+\cdots+p_{27}\)

上式左邊為偶數，上式右邊為奇數個奇質數的和為奇數，矛盾，

故，不可能將 \(1,2,3,\cdots,27\) 排成一圈圈使得相鄰兩整數和皆為質數。

謝謝weiye老師！
想再請問有沒有人可以利用數學歸納法做出第9題呢？
試著用數學歸納法但就是無法做出來。

第 9 題：

一、當 \(n=1,2,3\) 時，易知 \(2^1\geq 1+1\cdot\sqrt{2^0}, 2^2\geq1+2\cdot\sqrt{2^1}, 2^3\geq1+3\cdot\sqrt{2^2}\) 皆成立。

二、假設當 \(n=k\)，其中 \(k\) 為不小於 \(3\) 的整數時，\(2^k\geq1+k\sqrt{2^{k-1}}\) 會成立。

　　則當 \(n=k+1\) 時，

　　\(2^{k+1}=2\cdot2^k\geq2\cdot(1+k\sqrt{2^{k-1}})\)

　　　　\(=2+\sqrt{2}\cdot k\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{2^{k-1}}\)

　　　　\(>1+1.4\times k\sqrt{2^k}=1+(k+0.4k)\sqrt{2^k}\)

　　　　\(>1+(k+1)\sqrt{2^k}\)　亦成立。

由一、二及數學歸納法原理，

可知對任意自然數 \(n\)，\(2^n\geq1+n\sqrt{2^{n-1}}\) 皆成立。

用了\(\sqrt{2}\)的近似值是1.4，真的是蠻技巧的。
恍然大悟了，謝謝您！

[ 本帖最後由 casanova 於 2012-3-13 09:52 PM 編輯 ]

第二題還是怪怪的... 用x=pi/4 代入f(x)會大於5/2
顯然5/2不是極大值 -5/2也非極小值

[ 本帖最後由 Pacers31 於 2012-3-22 09:53 PM 編輯 ]

引用:

原帖由 Pacers31 於 2012-3-22 09:51 PM 發表
第二題還是怪怪的... 用x=pi/4 代入f(x)會大於5/2
顯然5/2不是極大值 -5/2也非極小值

應該要分開來說
在0<x<Pi時,f(x)有極小值5/2
在-Pi<x<0時,f(x)有極大值-5/2

我了解了... 原來題目是問local maximum and local minimum 而非absolute

請教第10題，感謝。

引用:

原帖由 mathca 於 2015-12-24 09:27 PM 發表
請教第10題，感謝。

法1:
分子,分母同乘sin(θ/2)   ,再用和差化積化簡

法2:
利用複數性質
令z=cosθ+i*sinθ,求Sigma {k=1 to n} z^k 的實部

再請教後面，算到  1/2 (sin theta/4 - sin (2n-1)theta/4 ) / sin theta/2 ，  1/4 出現不知要如何往下。

感謝