11題可用黃金比例φ=[1+sqrt(5)]/2   (φ^2=φ+1)
解聯立
(1)  z=φy
(2)  x+2y=φ(y+z)
x=1, z=φy代入(2)得1=(φ^2+φ-2)y
=> y=1/(φ^2+φ-2)=1/(2φ-1)=1/sqrt(5)=sqrt(5)/5
=> x+5y+5z=1+5y(1+φ)=1+sqrt(5)*[3+sqrt(5)]/2=[7+3sqrt(5)]/2

這樣就很簡潔了呀！

不過如果在計算體積前有注意到要截掉的三個小三角錐其側面三角形皆等腰直角三角形的話
就可以注意到這三個小的會與大三角錐的相似, 且邊長為大的1/3 (故體積為大的1/27)

計算就能簡化為
先算高{12^2-[4sqrt(6)]^2}^(1/2)=4sqrt(3)
所求體積=(1/3)*[sqrt(3)/4][12sqrt(2)]^2*4sqrt(3)*[1-3(1/27)]=288*8/9=256

題外話
請問瑋岳兄是否有參加2010高中教師研習(高大應數森棚教官, 週日場)？
我當天看到一位很像您
可是研習名單裡卻沒見到

剛發現還有問第5題

第5題
若\((x^{2000}-1)\)除以\((x^4+x^3+2x^2+x+1)\)之餘式為\(ax^3+bx^2+cx+d\)，則實數\(a+b+c+d\)之值=　　　。(最簡分數)
[解答]
令f(x)=x^2000-1
因x^4+x^3+2x^2+x+1=(x^2+x+1)(x^2+1)=(x-w)(x-w^2)(x-i)(x+i) 其中w=[-1+sqrt(3)i]/2
=> f(x)=(x-w)(x-w^2)(x+i)(x-i)q(x)+ax^3+bx^2+cx+d
i, w分別代入f(x)得
0=ai^3+bi^2+ci+d=(d-b)+(c-a)i  =>  b=d, a=c...(1)
w^2-1=aw^3+bw^2+cw+d=a+d+b(-1-w)+cw  (因1+w+w^2=0)
=> -2-w=(a+d-b)+(c-b)w
=> a+d-b=-2, c-b=-1...(2)
(1),(2)解得a=-2, b=-1, c=-2, d=-1
=> a+b+c+d=-6

太漂亮了！
真是佩服老王呀！
總是能洞悉題目的根源，
我等到底還要練幾年？
才能有如此的功力呀...