提供淺見
(1)如果n是奇數，那麼必定要用一個1，
也就是\( a_0=1 \)
\( \displaystyle n=1+a_1\cdot 2+a_2\cdot 2^2+a_3\cdot 2^3+...+a_k\cdot 2^k \)
\( \displaystyle n-1=a_1\cdot 2+a_2\cdot 2^2+a_3\cdot 2^3+...+a_k\cdot 2^k \)
\( \displaystyle \frac{n-1}{2}=a_1\cdot 1+a_2\cdot 2+a_3\cdot 2^2+...+a_k\cdot 2^{k-1} \)
於是n的一種表示法就對應\( \frac{n-1}{2} \) 的一種表示法，這是一一對應的，故有
\( \displaystyle f(n)=f(\frac{n-1}{2}) \)
(2)如果n是偶數，那麼\(a_0 \)可以是0或2
若\( a_0=0 \)
\( \displaystyle n=a_1\cdot 2+a_2\cdot 2^2+a_3\cdot 2^3+...+a_k\cdot 2^k \)
\( \displaystyle \frac{n}{2}=a_1\cdot 1+a_2\cdot 2+a_3\cdot 2^2+...+a_k\cdot 2^{k-1} \)
而若\( a_0=2 \)
\( \displaystyle n=2+a_1\cdot 2+a_2\cdot 2^2+a_3\cdot 2^3+...+a_k\cdot 2^k \)
\( \displaystyle \frac{n-2}{2}=a_1\cdot 1+a_2\cdot 2+a_3\cdot 2^2+...+a_k\cdot 2^{k-1} \)
所以有\( \displaystyle f(n)=f(\frac{n}{2})+f(\frac{n-2}{2}) \)
所以
\( \displaystyle f(401)=f(200)=f(100)+f(99)=f(50)+f(49)+f(49)=f(25)+f(24)+2f(24) \)
\( \displaystyle =f(12)+3f(12)+3f(11)=4f(6)+4f(5)+3f(5)=4f(3)+4f(2)+7f(2)=4f(1)+11f(2)=26 \)
至於有何不妥，我想是
(1)n應該要是大於1的奇數
(2)只給\( \displaystyle f(n)=f(\frac{n-1}{2}) \) ，尚不足以求出\( f(401) \)的值，要多給一點提示較佳吧。
