第 1 題

令 \(A(2,-2), B(12,1), C(x,\log x)\)

\(\left|\overline{AC}-\overline{AB}\right|\leq \overline{BC}=\sqrt{109}.\)





第 6 題

目前只有想到很醜陋的硬算，

令 \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)，

由 \(f(1)=2,\,f(2)=5,\,f(3)=10\)，

可得 \(\displaystyle a=\frac{1-d}{6},\,b=d,\,c=\frac{11-11d}{6}\)，

再帶入 \(b^2-3ac=0\)，可得 \(d\) 之值。

故，可得 \(f(x)\)，亦可得 \(f(4).\)





第 7 題

\(Z\) 分配：平均數為 \(0\) 且標準差為 \(1\) 的常態分配。

\(75\) 分以上所佔比例為 \(\displaystyle\frac{12}{300}=0.04=0.5-0.46\)

因為測驗分數成常態分配，

所以 \(75\) 分＝平均分數＋\(1.75\)個標準差 。

故，此次測驗平均分數為 \(75-8\times1.75=61\)。

\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\Rightarrow f\,'(x)=3ax^2+2bx+c\)

\(\Rightarrow f\,'(x)=0\) 的判別式為 \(\left(2b\right)^2-4\cdot\left(3a\right)\cdot c=4\left(b^2-3ac\right)\)

所以

case 1: \(y=f(x)\) 有兩條水平切線\(\Leftrightarrow f\,'(x)=0\) 有兩相異實根\(\Leftrightarrow b^2-3ac>0.\)

case 2: \(y=f(x)\) 恰有一條水平切線\(\Leftrightarrow f\,'(x)=0\) 有兩相等實根\(\Leftrightarrow b^2-3ac=0.\)

case 3: \(y=f(x)\) 無水平切線\(\Leftrightarrow f\,'(x)=0\) 無實根\(\Leftrightarrow b^2-3ac<0.\)

感謝網友 moun9 提醒如下：

引用:

老師您好:

在您的數學板上的99華江高中那份考題

填充題6.

其實可以令 \(f(x)=k(x-1)(x-2)(x-3)+x^2+1\)

這樣應該會比較好算喔

再搭配將 \(f(x)\) 展開之後，利用 \(f\,'(x)=0\) 的「判別式\(=0\)」，

可以很快解出 \(k\)，

這樣來解的確有比較快，感謝。

^___^

第 8 題於 PTT 的解答
http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1279107636.A.BCE.html