第五題：已知數列\(<a_n>\)滿足\(a_1=1\),\(a_{n+1}=3 a_n + 2n - 2 (\forall n \ge 1)\), 試求數列\(a_n\)的一般式為___________ .
希望尋求\(f(n)\)使得滿足\(a_{n+1}+f(n+1)=3\left(a_n+f(n)\right)\)，展開移項得\( a_{n+1} = 3 a_n+3f(n) -f(n+1)\)
令\(f(n)=an+b\)
帶入後整理與題目比較，可知\(a=1\),\(\displaystyle b=-\frac{1}{2}\)
\(a_n+f(n)=3\left(a_{n-1}+f(n-1)\right)\)
\(a_{n-1}+f(n-1)=3\left(a_{n-2}+f(n-2)\right)\)
\(a_{n-2}+f(n-2)=3\left(a_{n-3}+f(n-4)\right)\)
\( \ldots \)
\(a_{2}+f(2)=3\left(a_{1}+f(1)\right)\)
將上列式子相乘整理，並且帶入初始值可得\(\displaystyle a_n=\frac{1}{2} \cdot 3^n -n +\frac{1}{2}\)
