幫您補上附件【99中壢高中第二次】


第 1、 6、7 題：http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=4494




第 2 題：已知正方形 \(ABCD\) 的兩頂點 \(A,B\) 在拋物線 \(y^2=x\) 上,且 \(C,D\) 在直線 \(L:\,y = x+4\) 上求正方形的面積?(二解)

解答：

令 \(A(a^2,a), B(b^2,b)\)，則

　1. 由 \(\overline{AB}\) 斜率為 \(1\)，可得 \(a+b=1.\)

　2. 以 \(A\) 為中心，將 \(B\) 旋轉 \(90^\circ\) 可得 \(D(a+a^2-b,a-a^2+b^2)\)

　　因為 \(D\) 在 \(y=x+4\) 上，所以可再得一個 \(a,b\) 的關係式。

由 1.&2. 解聯立，可得 \(a=-2,b=3\) 或 \(a=-1,b=2\)，

故，所求面積 \(=\overline{AB}^2=\left(a^2-b^2\right)^2+\left(a-b\right)^2=50 \mbox{ 或 } 18.\)





第 3 題：\(\triangle ABC\) 中，\(\overline{AB}=3,\overline{AC}=4,\overline{BC}=5\)，從 \(A, B, C\) 三點在平面 \(ABC\) 的同側, 分別各作與 \(ABC\) 平面垂直的線段 \(\overline{AD},\overline{BE},\overline{CF}\) 且 \(\overline{AD}=13,\overline{BE}=5,\overline{CF}=12\)，則五面體 \(ABCDEF\) 的體積為何？

解答：

令 \(A(0,0,0), B(3,0,0), C(0,4,0), D(0,0,13),E(3,0,5),F(0,4,12)\)

所求體積\(=\mbox{三角錐}ABCF+\mbox{四角錐}ABEDF=60.\)

第 4 題：若 \(s_1,s_2\) 為完全平方數且滿足 \(s_1-s_2=1989\), 則數對 \(\left(s_1,s_2\right)\) 共有____________組.


解答：

令 \(s_1=a^2, s_2=b^2\)，其中 \(a,b\) 為整數，

則 \(a^2-b^2=1989\Rightarrow \left(a-b\right)\left(a+b\right)=3^2\times13\times17\)

因為 \(3^2\times13\times17\) 有 \(\left(2+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=12\) 個正因數，

所以 \(3^2\times13\times17\) 有 \(24\)個因數。

因為 \(\displaystyle a=\frac{\left(a+b\right)+\left(a-b\right)}{2}, b=\frac{\left(a+b\right)-\left(a-b\right)}{2}\)

　且 \(3^2\times13\times17\) 的因數都是奇數

所以 \(\left(a,b\right)\) 共有 \(24\) 組。

故，\(\left(s_1,s_2\right)=\left(a^2,b^2\right)=\left(\left(\pm a\right)^2,\left(\pm b\right)^2\right)=\left(\left(\pm a\right)^2,\left(\mp b\right)^2\right)\) 共有 \(\displaystyle\frac{24}{4}=6\) 組。

引用:

原帖由 lovesun 於 2010-7-30 05:51 PM 發表
想請教填充第10題......感謝.......

填充第 10 題

三次多項式函數無極值 \(\Rightarrow b^2-3ac\leq0\Rightarrow b^2\leq3ac\)

\(\displaystyle \frac{f\left(1\right)}{f''\left(0\right)}=\frac{a+b+c}{2b}=\frac{1}{2}+\frac{\displaystyle\frac{a}{b}+\frac{c}{b}}{2}\)

　　\(\displaystyle \geq\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{ac}{b^2}}\geq\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}.\)