8.
以正12邊形的12個頂點中，任意三個頂點所形成的直角三角形共有\(a\)個，鈍角三角形有\(b\)個，等腰三角形有\(c\)個；則\(2a+b-c=\)　　　。
[解答]
直角三角形：先確定斜邊是哪一條，然後再確定直角的點～
\(a=C^6_1\times 10=60\)

鈍角三角形：先確定不是鈍角的其中一個點，在確定剩下的兩個點～
\(b=C^{12}_1C^5_2=120\)

等腰三角形：先確定頂角的頂點，在確定底角的兩個點～然後正三角形會重複計算到～要記得扣掉～
\(c=C^{12}_1\times C^5_1-(12/3)\times2=52\)

\(2a+b-c=188\)

填充第 5 題：

先求得 \(C,D\) 的中點 \(E(1,0,-1)\)

所求的平面即為『包含 \(\overline{AB}\) 且通過 \(E\) 的平面』，

（因為 \(C,D\) 到 \(\triangle ABE\) 所在平面的距離相等）

通過 \(A,B,E\) 三點的平面可以求得為 \(2x-7y+9z+7=0\)

\(\Rightarrow b=-7,c=9,d=7\Rightarrow b+c+d=9.\)

當某球通過 \(A,B\) 兩點且與 \(x\) 軸相切於 \(P\) 點，且球半徑為最小時，

\(∠APB\) 會有最大值。

（很抱歉，我實在是不太會畫立體圖～＝＝

　只好請您在腦海中想像一下～）


設此時 \(P(a,0,0)\)

因為球心必在 \(A,B\) 的垂直平分面 \(3y-\sqrt{3} z = 0\) 上，

設球心 \(Q(a, b, \sqrt{3} b)\)

由 \(\overline{QA}=\overline{QP}\)

\(\Rightarrow (a-1)^2 + (b-2)^2 +(\sqrt{3}b)^2 = b^2+(\sqrt{3}b)^2=\mbox{半徑的平方}\)

可得 \(4b=a^2-2a+5\)

當半徑有最小值時，\(b\)有最小值，所以，\(a=1, b=1\)

可得

\(P(1,0,0)\)

PA向量 \(=(0,2,0)\)

PB向量 \(=(0,-1,\sqrt{3})\)

\(\displaystyle \cos \theta = \frac{\mbox{PA向量} \cdot \mbox{PB向量}}{\left|\mbox{PA向量}\right| \cdot\left|\mbox{PB向量}\right|}= \frac{-1}{2}\)

\(\theta= 120^\circ.\)

「當某球通過 AB  兩點且與 x 軸相交於 P 點，且球半徑為最小時，

∠APB  會有最大值。」


哈，我原本是要寫

「當某球通過 AB  兩點且與 x 軸相切於 P 點，且球半徑為最小時，

∠APB  會有最大值。」



因為通過 \(A,B,P\) 三點的圓半徑越小時，\(∠APB\) 越大。

沒想到寫錯一個字。：Ｐ

因為當球與 \(x\) 軸相切時，球心的 \(x\) 坐標會與此球與 \(x\) 軸切點的 \(x\) 坐標相同。

換句話說，球心在 \(x\) 軸的投影點即為切點。：）

你所多的那個答案～應該是「包含 \(\overline{AB}\)，且平行 \(\overline{CD}\) 的平面」，

那平面也會滿足到 \(C\) 與到 \(D\) 的距離相等，

但卻不會平分四面體 \(ABCD\) 的體積。：）