想請教第13題和第21題！！
13題我是一個個討論，算出答案1128組
21題我的x是一個範圍不是一個數，對答案不確定
懇請賜教，謝謝！

21 題，你的範圍？？

如果 x 在 a 附近，[3x+1] 的值可能只有一個或二個(當 3a+1 為整數)

而 a 的附近 2x−21 單調遞增，因此也頂多 2 個使得等號成立

所以你的範圍，應該是漏驗了等式了

13. 先當作這個類似問題 x+y+z=50 的非負整數解，兩個問題的解其實很接近，所以扣掉不一樣的解就可以了

如果覺得不夠簡潔，那就另找個更接近的目題，而且會解，一樣扣除不一樣的。

21題：
我利用x-1<[x]<=x的方式 去解x的範圍
得到答案-2/3<=x<-1/2 請問哪裡錯誤?

謝謝老師的回答

填充第 21 題：

樓上沒有考慮到的點是~

因為 2x-1/2=[3x+1] 為整數

所以不是樓上範圍內的 x 都會滿足 2x-1/2 是整數。

解方程式[3x+1]=2x−21，x=　　　。([x]：表示不大於x的最大整數)
[解答]
因為 a-1<[a]<=a

3x < 2x-1/2 <= 3x+1

-3/2 <= x <-1/2

-7/2<=2x-1/2<=-3/2

因為 2x-1/2=[3x+1] 為整數

所以介在 -7/2 與 -3/2 之間的整數只有 -3, -2

2x-1/2 = -3, or -2

x=-5/4, or -3/4

沒想到居然以前有漏回復的，真是抱歉。

填充第 22 題：
正三角形ABC的邊長為1，在AB、BC、CA上各取P、Q、R滿足AP2=BQ2=CR。
(1)令AP=x，求PQR的面積=　　　。(以x表示)
(2)若P在\overline{AB}上移動，\triangle PQR的最小面積為M，使得\triangle PQR的面積為最小時的x值為a；則(M,a)=　　　。
[解答]
第1小題

ΔPRQ 面積 = ΔABC 面積 - ΔAPR 面積 - ΔBPQ 面積 - ΔCQR 面積

　　　　　＝ \displaystyle \frac{1}{2}\cdot1\cdot1\sin60^\circ-\frac{1}{2}\cdot x\cdot\left(1-x^2\right)\sin60^\circ-\frac{1}{2}\cdot x\cdot\left(1-x\right)\sin60^\circ-\frac{1}{2}\cdot x^2\cdot\left(1-x\right)\sin60^\circ

　　　　　＝ \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}\left(2x^3-2x+1\right)

第2小題

令 f(x)=2x^3-2x+1，則 \displaystyle f\,'(x)=0\Rightarrow x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}

因為 f(x) 為首項係數為正的三次多項式函數，

可知當 \displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{3}} 時， f(x) 有最小值為 \displaystyle f(\frac{1}{\sqrt{3}})

即 ΔPRQ 面積有最小值為 \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot f(\frac{1}{\sqrt{3}})=\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{3}

另解，

由算幾不等式 \displaystyle \frac{\displaystyle \left(1-x\right)+\frac{1+x}{2}+\frac{x}{2}}{3}\geq\sqrt[3]{\left(1-x\right)\cdot\frac{1+x}{2}\cdot\frac{x}{2}}

可得 \left(1-x\right)\left(1+x\right)x 之最大值，

進而得知 \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}\left(2x^3-2x+1\right) 的最小值。

填充第 13 題：
若x,y,z為整數，0\le x\le 45，1\le y\le 47，2\le z\le 49，則滿足x+y+z=50的解(x,y,z)共有　　　組。
[解答]
令 y\,'=y-1, z\,'=z-2 則

x+y\,'+z\,'=47 且 0\leq x\leq45, 0\leq y\,'\leq 46, 0\leq z\,'\leq 47

所求＝（47顆相同球任意分給 x,y\,',z\,' 三個箱子）- （x 爆掉） - （y\,' 爆掉）

［註：z\,' 肚量很大～可以獨自吃到 47 顆球沒問題，所以絕對不會爆掉。］

　　＝（47顆相同球任意分給 x,y\,',z\,' 三個箱子）- （x 因為吃了 46 顆以上的球，所以爆掉） - （y\,' 因為吃了 47 顆球所以爆掉）

　　＝ H_{47}^3 - H_1^3-1

　　＝1176-3-1=1172

謝謝寸絲老師和瑋岳老師的回覆~~~謝謝!!

1.
已知a_1=1，\displaystyle a_{n+1}=3a_n+\frac{3^n}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}，(n\in N)；則a_n=　　　。
[解答]
先將分母有理化
接著一個帶一個
你就會發現規律
就可以找出來了!!
a_{n+1}=3a_n+3^n(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})
a_2=3a_1+3^1(\sqrt{2}-\sqrt{1})
a_3=3a_2+3^2(\sqrt{3}-\sqrt{2})
a_4=3a_3+3^3(\sqrt{4}-\sqrt{3})
可找出關係
a_3=3^2a_1+3^2(\sqrt{3}-\sqrt{1})
其他類推
一項推一項
推到n
a_n=3^{n-1}a_1+3^{n-1}(\sqrt{n}-\sqrt{1})
將a_1=1帶入即可
a_n=3^{n-1}+3^{n-1}(\sqrt{n}-\sqrt{1})=3^{n-1}\sqrt{n}

填充題第 1 題：
已知a_1=1，\displaystyle a_{n+1}=3a_n+\frac{3^n}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}，(n\in N)；則a_n=　　　。
[解答]
當 n\in\mathbb{N} 時，

\displaystyle a_{n+1}=3a_n +\frac{3^n}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}

\displaystyle \Rightarrow \frac{a_{n+1}}{3^n}=\frac{a_n}{3^{n-1}}+\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)

　　　\displaystyle =\frac{a_{n-1}}{3^{n-2}}+\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)+\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)

　　　\displaystyle =\cdots

　　　\displaystyle =\frac{a_1}{3^0}+\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)+\cdots+\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)+\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)

　　　\displaystyle =1+\sqrt{n+1}-\sqrt{1}

\displaystyle \Rightarrow a_{n+1}=3^n\cdot\sqrt{n+1}，其中 n\in\mathbb{N}

且因 a_1=1=3^0\cdot{1} 亦成立，可得

\Rightarrow a_n=3^{n-1}\cdot\sqrt{n}，其中 n\in\mathbb{N}

請教版上老師   此題答案公告是20*13^7

想請問七次方式怎麼得到的呢?  謝謝!