想請教各位老師 官方版的第七題

第7題
設圓\(O\)：\(x^2+y^2=4\)，四邊形\(ABCD\)為圓\(O\)的內接四邊形，已知\(\overline{AC}\)與\(\overline{BD}\)互相垂直交於\((1,0)\)，則四邊形\(ABCD\)面積的最大值為　　　。
[解答]
\(\begin{align}
  & P\left( 1,0 \right)\ ,\ \overline{OA}=\overline{OB}=2\ ,\ \overline{OM}=a\ ,\ \overline{ON}=b \\
& \overline{AC}=2\sqrt{4-{{a}^{2}}}\ ,\ \overline{BD}=2\sqrt{4-{{b}^{2}}} \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1 \\
& ABCD=\frac{1}{2}\times \overline{AC}\times \overline{BD}=2\times \sqrt{4-{{a}^{2}}}\times \sqrt{4-{{b}^{2}}}\le 4-{{a}^{2}}+4-{{b}^{2}}=7 \\
\end{align}\)

想請問填充2

第2題
級數\(\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{k^2}{2^k}\)之值為　　　。
[解答]
\(\begin{align}
  & \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{k}{{{2}^{k}}}}=2-\frac{n+2}{{{2}^{n}}} \\
&  \\
& S=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{{{k}^{2}}}{{{2}^{k}}}=\frac{1}{2}+}\frac{{{2}^{2}}}{{{2}^{2}}}+\frac{{{3}^{2}}}{{{2}^{3}}}+\cdots +\frac{{{n}^{2}}}{{{2}^{n}}} \\
& \frac{S}{2}=\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{{{2}^{2}}}{{{2}^{3}}}+\cdots +\frac{{{\left( n-1 \right)}^{2}}}{{{2}^{n}}}+\frac{{{n}^{2}}}{{{2}^{n+1}}} \\
& S-\frac{S}{2}=\frac{S}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{{{2}^{2}}}+\frac{5}{{{2}^{3}}}+\cdots +\frac{2n-1}{{{2}^{n}}}-\frac{{{n}^{2}}}{{{2}^{n+1}}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{2k-1}{{{2}^{k}}}-\frac{{{n}^{2}}}{{{2}^{n+1}}}} \\
& S=2\left( \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{2k-1}{{{2}^{k}}}-\frac{{{n}^{2}}}{{{2}^{n+1}}}} \right)=2\left( 2\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{k}{{{2}^{k}}}-\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{{{2}^{k}}}}-\frac{{{n}^{2}}}{{{2}^{n+1}}}} \right) \\
& =2\left[ \left( 4-\frac{2n+4}{{{2}^{n}}} \right)-\left( 1-\frac{1}{{{2}^{n}}} \right)-\frac{{{n}^{2}}}{{{2}^{n+1}}} \right] \\
& =2\left( 3-\frac{{{n}^{2}}+4n+6}{{{2}^{n+1}}} \right) \\
& =6-\frac{{{n}^{2}}+4n+6}{{{2}^{n}}} \\
\end{align}\)

謝謝老師

填充2另解

看了好久還是不懂計算2.3從何著手

參考來源ppt:FAlin 應該是數學國手
\(\displaystyle (x+x+y)(1+\frac{y}{x}+1)\ge (\sqrt{x}+2\sqrt{y})^2\)
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{2x+y}{(\sqrt{x}+2\sqrt{y})^2}\ge \frac{x}{2x+y} \)
\(\displaystyle \sum_{cyc}\frac{x(2x+y)}{z(\sqrt{x}+2\sqrt{y})^2}\ge \sum_{cyc} \frac{x^2}{yz+2xz}\ge \frac{(x+y+z)^2}{3xy+3yz+3zx}\ge 1 \)
倒數第二個柯西/權方和  最後一個

107.10.20版主補充出處
https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1539880910.A.B47.html

代課老師有去考試，第三題有要求\(n\)為自然數。

想請教計算3 感謝各位高手